Планирование эксперимента при независимых количественных факторах

ЛЕКЦИЯ 8.

Исследование и оптимизация систем методами активного планирования эксперимента проводятся обычно в несколько этапов. При этом на каждом из них решается своя задача и точки проведения эксперимента выбираются наилучшим образом исходя из этой задачи. Большинство исследуемых явлений и систем зависят от большого числа независимых переменных (от нескольких десятков до нескольких сотен). Поэтому детальное исследование влияния всех их на систему оказывается практически невозможным.

На первом этапе исследований задача планирования эксперимента состоит в выявлении тех переменных, действия которых на систему наиболее существенны. Их и учитывают при дальнейшем, более деталь­ном исследовании системы. Остальные факторы (переменные) можно отбросить. Для решения этой задачи используются такие планы прове­дения экспериментов, которые позволяют отсеять незначимые факторы за минимальное число опытов.

На втором этапе осуществляется поиск области значений входных переменных, обеспечивающих наилучшее значение выходной переменной (почти стационарная область) Очевидно, что простой "прострел" об­ласти возможных значений входных переменных, варьируя каждую из них на m уровнях, требует просмотра m^k точек (k-число переменных) и практически нереален (при малом m - неэффективен, при большом -нереализуем). Поэтому для поиска почти стационарной области ис­пользуется целенаправленный ее поиск, использующий либо аппрокси­мацию поверхности отклика линейными моделями (гиперплоскостями) на локальных участках с последующим движением в область экстремума в выбранном направлении (например, метод наискорейшего подъема -спуска), либо другие численные методы оптимизации, не требующие аппроксимации поверхности отклика, а выбирающие направление движе­ния на каждом шаге поиска. Стратегия выбора плана эксперимента заключается в сокращении числа точек, необходимых для достижения почти стационарной области.

На третьем этапе производится детальный анализ исследуемой системы в почти стационарной области. Для этого необходимо прово­дить достаточно большое число экспериментов, позволяющих строить адекватную нелинейную модель поверхности отклика. С этой целью ис­пользуются планы проведения эксперимента, отвечающие наилучшему качеству получения этих моделей за ограниченное число опытов.

После того, как адекватная нелинейная модель поверхности отк­лика построена, осуществляется ее анализ традиционными аналитичес­кими способами. При этом изучается форма поверхности (выпуклость, наличие гребней, оврагов, седловых точек и т.п.). влияние перемен­ных на значение выходной переменной, положение точки оптимума и т.д. Так,'для поиска точки оптимума первые частные производные по оптимизируемым переменным приравниваются нулю. Решая полученную систему, уравнений находят значения х_опт.

Для уточнения полученных результатов в точке хопт- проводится дополнительно уточняющий эксперимент (если она находится в допус­тимой области). Следует отметить, что все эти этапы взаимосвязаны, а выводы по числу учитываемых переменных и виду их влияния на ре­зультат должны все время корректироваться и уточняться. Рассмотрим эти этапы более подробно.

6.1. Виды планов эксперимента и их свойства

Под планом эксперимента будем понимать множество всех точек проведения экспериментов хⁱ=[x₁ⁱ,x₂ⁱ,...,х_kⁱ] i=1,...,N. В матричной форме он имеет вид

Точка х⁰ называется центром (центральной точкой) плана x⁰={x₁⁰}:

, I=1,…,k

План называется центральным, если его центр расположен в на­чале координат, т. е. x⁰=0. Всякий план путем переноса начала координат можно сделать центральным. Так, произвольный план Z путем

замены переменных x₁=z₁-z₁⁰, где , 1=1,...,k.

преобразуется в центральный план X.

Область возможных значений независимых переменных называется областью планирования эксперимента .

Очевидно, что все или . Область может быть задана в виде гиперкуба системой двухсторонних ограничений на переменные: , i=1,...,k. Заменой переменных вида

где - значение 1-й переменной в натуральном масштабе, можно перейти к стандартизованному масштабу задания переменных . Для граничных значений (x_1max, x_1min) они будут равны x₁=(+1,-1) или (+,-), что часто используется в дальнейшем.

Многие свойства плана определяются видом модели, для оценки коэффициентов которой он используется.

Для линейных моделей (или сводящихся к ней) они связаны с ин­формационной матрицей . He снижая общности в даль­нейшем для простоты примем W=E (единичной) и тогда информационная матрица будет , где вид матрицы F зависит как от вида функций f₁(x), так и от плана эксперимента X. т.е.

План X называется ортогональным, если соответствующая ему ин­формационная матрица диагональна, т.е.

Если информационная матрица диагональна (план ортогонален), то коэффициенты модели b_i, (i=0,...,k) независимы, вычисляются достаточно просто и их анализ также упрощается. План X называется ротатабельным, если для него дисперсия оценки в точке х^* за­висит только от расстояния r между точкой х^* и центром плана х⁰

т.е. в ротатабельных планах дисперсия целевой функции отклика у(х) одинакова во всех точках, равноудаленных от центра плана.

С учетом W = Е и замены матрицы X на F дисперсия оценки в точке х^* равна , где f(x^*)=[f₀(x^*);f₁(x^*);…;f_k(x^*)]. Тогда условие ротатабельности плана имеет вид , при r(x*)=const. Зависимость вида n называется информационным профилем плана.

Пример: Пусть модель имеет вид y(b.x) = b₀+b₁x₁+b₂x₂.

Область планирования задается неравенствами , где х₁ х₂ - стандартизированные переменные. План X задан в виде

Так как х⁰ = 0, то план центральный. Учитывая, что f(x)=[f₀(x);f₁(x);f₂(x)]=[1,x₁,x₂] матрица F будет:

Информационная матрица:

Поскольку она диагональна, то план ортогональный. Дисперсионная матрица для плана имеет вид

Проверим выполнение условия ротатабельности плана:

Таким образом дисперсия отклика в точке х^* зависит только от расстояния до этой точки от центра плана х⁰, т.е. план ротатабельный. Информационный профиль плана будет

. Оценки коэффициентов уравнения регрессии равны

Если теперь тот же план будем использовать для анализа модели вида y(b.x)=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₁x₂, то получим

Информационная матрица диагональна, т.е. план ортогональный. Дисперсионная матрица:

Условие ротатабельности:

Как видно, дисперсия зависит не только от расстояния r. т. е. I для этой модели план X не ротатабельный.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии равны:

т.е. вычисляются достаточно просто, так как план ортогональный.