Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения.
1. Введем обозначения:
,
.
Сравним степени числителя и знаменателя .
Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя больше или равна степени знаменателя , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:
Здесь многочлен – остаток от деления на , причем степень меньше степени .
2. Разложим правильную рациональную дробь
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни , т.е. , то разложение на элементарные дроби имеет вид
.
3. Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим к общему знаменателю дроби в правой части равенства, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.
4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ
|
|
,
где – многочлен степени .
Задача 5. Найти неопределенные интегралы.