1. Пусть f(x)=x 2, g(x)= 5 x. Функции являются бесконечно малыми при x →0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).
2. Пусть f(x)=x 2–4, g(x)=x 2–5 x +6 – бесконечно малые при x →2.
.
Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.
3. f(x)= tg2 x,g(x) = 2 x – бесконечно малые при х →0.
.
Следовательно, f ≈ g.
4. – бесконечно малые при n →∞.
– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.
При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х → а. Если и f ≈ f 1, g ≈ g 1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.
Доказательство. Имеем . Тогда
,
что и требовалось доказать.
Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при
x →0: sin x ≈ x, tg x ≈ x, arcsin x ≈ x, arctg x ≈ x, 1–cos x ≈ x 2∕2,log a (1+ x) ≈ x/ ln a, ln (1+ x) ≈ x, (1+ x)m–1 ≈ mx,ax –1 ≈ x ln a,ex –1 ≈ x.
|
|