Определение напряжений на произвольных площадках. Круг Мора

Из напряженного тела в окрестности произвольной точки вы­делим элементарный объем в виде тетраэдра

Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней − l = cos (x, v), m = cos (y, v), n = cos (z, v).

Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z..Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dFx, dFy, dFz, соответственно будем иметь:

dFx = dF⋅l; dFy = dF⋅m; dFz = dF⋅n. (10.3)

Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, по­следовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = σx ⋅ l + τyx ⋅ m + τzx ⋅ n;

Y = τyx ⋅ l + σy ⋅ m + τzy ⋅n; (10.4)

Z = τzx ⋅ l + τzy ⋅ m + σz ⋅n.

Выразим нормальное напряжение σv на наклонной площадке через X, Y, Z:

σv = X ⋅ l + Y ⋅ m + Z ⋅ n. (10.5)

Отcюда, с учетом (10.3) получим

σv = σx ⋅l 2 + σy ⋅m 2 + σz ⋅n 2 + 2 τyz⋅m⋅n + 2 τzx⋅n⋅l + 2 τxy⋅l⋅m.

Круг Мора — это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений.

Уравнения круга Мора: