Примеры решения задач. 4.2.1 Задача 1. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца соответствует длине волны lm =500нм

4.2.1 Задача 1. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца соответствует длине волны l_m =500нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) энергетическую светимость R_э Солнца; 2) поток энергии Ф, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1с.

Дано: lm=500нм=5×10-7 м t= 1c	Решение: 1) Энергетическая светимость Rэ абсолютно черного тела определяется по закону Стефана-Больцмана: Rэ= s Т4 (4.1)
R э-? Ф -? m -?

Температуру излучающей поверхности можно определить по первому закону Вина

,

следовательно,

Т = .

Подставив температуру в формулу (4.1), получим:

R_э= s ( )⁴. (4.2)

Проверим единицы в формуле (4.2):

[ R_э ] = ×м ⁴× К ⁴× м ^-4 = .

Единица R верна, следовательно, верна и формула (4.2).

Подставим числовые значения в единицах СИ, значения s и b приведены в таблице 1:

s =5,67×10^-8 ; b =2,9 ×10^-3м×К; l_m =5×10^{-7 м.}

R_э =5,67×10^-8 =64×10⁶ = 64 МВт/м².

2) Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь его поверхности S:

Ф = R_э×_×S или Ф = R_э× 4p r²,

где r – радиус Солнца. По справочным данным (табл.9) r = 6,95 ×10⁸ м

[ Ф ]= ×.м²=Вт.

Ф = 64×10⁶×4×3,14×(6,95×10⁸)² = 3,9×10²⁶ Вт.

3) Массу всех длин электромагнитных волн, излучаемых Солнцем за 1с, определим, применив закон пропорциональности энергии и массы

Е = т× с².

Т.к. энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии (мощности излучения) на время

Е = Ф× t,

то

Ф× t = m× c²,

следовательно,

т = ×

Проверим единицы:

[ m ]= = = = кг.

Произведем вычисления:

т = = 4×10⁹ кг = 4 Тг.

Ответ: R_э =64 МВт/м²; Ф= 3,9×10²⁶ Вт; т= 4 Тг.

4.2.2 Задача 2. Длина волны l_m, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (r_lT)_max, рассчитанную на D l = 1 нм, вблизи l_m.

Дано: lm= 0,58мкм = 0,58×10-6 м D l =1 нм = 10-9м	Решение: Максимальная спектральная плотность энергетической светимости определяется по второму закону Вина: (rlТ)mах=сT5, (4.3)
(rlТ) mах -?

где с - постоянная второго закона Вина, Т – абсолютная температура.

Температуру определим из первого закона Вина:

l_m = и Т = .

Подставим температуру в формулу (4.3):

(r_lT)_max= с ×()⁵ (4.4)

[(r_lT)_max ]= × =

В справочных данных (см. табл.1) с задано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн D l = 1м. По условию же задачи требуется определить (r_lT) _max, рассчитанную на D l =1 нм, поэтому значение с в единицах СИ пересчитаем на заданный интервал длин волн:

с = 1,3×10^-5 = 1,3×10^-5 = 1,3×10^-14

Произведем расчеты по формуле (4.4):

(r_lT) _max = 1,3×10^-14× = 40,6 ×10³ = 40,6 ×

Ответ: (r_lT) _max= 40,6 ×

4.2.3 Задача 3. Определить максимальную скорость u_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны l ₁ = 0,155 мкм; 2) g - излучением с длиной волны l ₂ =1пм.

Дано: l1= 0,155 мкм= 0,155×10-6 м l2= 1 пм= 1×10-12 м	Решение: Максимальную скорость фотоэлектрона можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: e = Aвых + Wк mах, (4.5)
umax 1 -? umax 2 -?

где e - энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А_вых – работа

выхода; W_{к mах} – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

e = h , (4.6)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; l - длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле

W_к = , (4.7)

или по релятивистской формуле

W_к =Е₀ (4.8)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия e фотона много меньше энергии покоя Е₀ электрона, то может быть применена формула (4.7), если же e сравнима по величине с Е ₀, то вычисления по формуле (4.7) приводит к ошибке, во избежание которой необходимо кинетическую энергию фотоэлектрона выражать по формуле (4.8).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (4.6):

e ₁ = Дж = 1,28×10^-18Дж,

или

e ₁ = эВ = 8эВ.

Полученная энергия фотона (8эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектронов в формуле (4.5) может быть выражена по классической формуле (4.7):

e₁=А_вых+ ,

откуда

u_{max 1} = . (4.9)

Проверим единицы:

[ u_{max 1} ]= = = = м/с.

Значения работы выхода А_вых и массы покоя электрона m₀ возьмем из справочных табл. 4 и 6: А_вых = 7,5×10^-19 Дж= 4,7 эВ; m₀ = 9,11×10^-31кг.

Подставив числовые значения в формулу (4.9), найдем

u _{max 1}= 1,08×10⁶м/с.

2. Вычислим энергию фотона g - лучей:

e₂ = h = Дж = 1,99×10^-13Дж,

или

e₂ = эВ= 1,24×10⁶ эВ = 1,24 МэВ.

Работа выхода электрона (А =4,17эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (e₂ = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: W_max = e₂ = 1,24 МэВ).

Т.к. в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии

W_{к mах} =Е_{0 .}

Выполнив преобразования, найдем

b = .

Заметив, что u =с×b и W_{к mах} = e₂, получим

u _{max 2} = с .

[ u _{max 2} ] = = .

Сделаем подстановку числовых значений величин и произведем вычисления:

u _{max 2} = 3 ×10⁸ м/с = 2,85×10⁸м/с.

Ответ: u_{max 1} = 1,08×10⁶м/с; u _{max 2} = 2,85×10⁸м/с.

4.2.4 Задача 4. В результате эффекта Комптона фотон при соударении c электроном был рассеян на угол q =90⁰. Энергия рассеянного фотона e ₂ = 0,4 МэВ. Определить энергию фотона e₁ до рассеяния.

Дано: q =900 e2 = 0,4 МэВ	Решение: Согласно формуле Комптона изменение длины волны фотона при рассеянии на электроне будет равно Dl= 2 sin2 (4.10)
e1 -?

где h –постоянная Планка; m₀ – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме. Выразим D l =l₂ - l₁ через энергии e₁ и e₂ соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой e =h , и умножим числитель и знаменатель правой части равенства (4.10) на скорость света с. Тогда получим:

- = sin² или - = sin² , (4.11)

где Е₀ =m₀ × c² - энергия покоя электрона.

Выразим из формулы (4.11) искомую энергию e ₁:

e₁ = (4.12)

[ e₁ ] = = МэВ.

Подставим в формулу (4.12) числовые значения, взяв Е ₀ из справочной таблицы 6:

e ₁ = = 1,85 МэВ.

Ответ: e ₁=1,85 МэВ.

4.2.5 Задача 5. Пучок монохроматического света с длиной волны λ =663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии Ф =0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на неё за время t = 5 с.

Дано: λ=663нм Ф =0,6 Вт t = 5с N -? F -?

Решение: Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхости: F = р . S (4.13) Световое давление может быть найдено также по формуле: р = Ее (1 + ρ)/с (4.14)

Подставляя выражение (4.14) в формулу (4.13), получим:

F = (4.15)

Так как произведение облучённости Е_е на площадь S поверхности равно потоку Ф энергии излучения, падающего на поверхность, то выражение (4.15) можно записать в виде:

.

Проверим единицы:

[ F ] = Вт ^. с/ м = Н^. м ^. с / с^. м = Н

Подставим числовые значения, при этом учтем, что для зеркальной поверхности ρ = 1, и произведём расчёты:

F = 0,6^. 2 / 3^. 10⁸ = 4^. 10^-9 Н = 4 нН.

Ответ: F = 4 нН.