Примеры решения задач. 3.2.1 Задача 1. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м

3.2.1 Задача 1. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной l= 1 cм укладывается N =10 темных интерференционных полос. Длина волны

l =0,1 мкм.

Дано: L= 1 м l= 1 cм = 0,01 м N= 10 l = 0,7 мкм = 0,7×10-6м	Рисунок 3.1
d -?

Решение: В результате прохождения монохроматического света через щели Юнга, на экране наблюдается интерференционная картина – чередующиеся светлые и темные полосы. Координата m-го минимума определяется условием:

, т =0, ± 1, ± 2, …

По условию задачи на экране на расстоянии l = 10 cм наблюдается N=10 темных полос, следовательно,

х_т+10 – х_т= l,

т.е.

10 l =l; d= 10 l

d= 10×0,7×10^-6 =7×10^-4м =0,7мм.

Ответ: d =0,7мм.

3.2.2 Задача 2. От двух S₁ и S₂ когерентных источников (l = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n =1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине d _min пленки это возможно?

Дано: l = 0,8 мкм = 0,8×10-6м п =1,33
dmin -?

Решение: Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода лучей на нечетное число половин длин волн, т.е.

D ₂ - D₁ = (2m+1) , (3.1)

где D₁ – оптическая разность хода лучей до внесения пленки; D₂ - оптическая разность хода тех же лучей после внесения пленки; т =0, ± 1, ± 2, …

Наименьшей толщине d_min пленки соответствует m =0. При этом формула (3.1) примет вид

D ₂ - D₁ = . (3.2)

Выразим оптические разности хода D₂ и D₁. Из рисунка 3.2 следует:

D₁ = l₁ – l₂,

D₂=[ (l₁ – d_min ) + n d_min ] - l₂= (l₁ – l₂)+ d_min (n – 1 ).

Подставим выражения D ₂ и D₁ в формулу (3.2):

(l₁ – l₂)+ d_min (n – 1 ) - (l₁ – l₂) = ,

или

d_min (n – 1)= .

Отсюда получим

d_min= . (3.3)

Подставив числовые значения в формулу(3.3), найдем

d_min= .

Ответ: d_min= 1,21 мкм.

3.2.3 Задача 3. Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления п= 1,25 меньшим, чем у стекла п₂ (“просветление” оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0,72 мкм не будет наблюдаться, если угол падения луча 60⁰?

Дано: l = 0,72 мкм = 0,72×10-6м п = 1,25 i = 600	Рисунок 3.3
dmin -?

Решение: Оптическая разность хода лучей, отраженных от нижней и верхней поверхностей пленки:

D = 2d , (3.4)

где d – толщина пленки, n – показатель преломления пленки, i - угол падения лучей. В выражении (3.4) учтено, что отражение лучей S₁ и S₂ происходит на границах двух сред, I и II соответственно, от оптически более плотных сред, и поэтому «потери полуволн» в обоих случаях компенсируют друг друга. Условие интерференционного минимума:

D = ± (2 т+1) (т= 0,1,2,3 ,…)(3.5)

где l - длина волны, т - порядок интерференционного минимума. Приравнивая (3.4) и (3.5) получим:

2 d = (2 т+1) .

d = d_min при m = m_min = 0, поэтому

2 d_min =

d_min = .

d_min = = 0,2 ×10^{-6 м} = 0,2мкм.

Ответ: d_miт= 0,2мкм.

4.2.4 Задача 4. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного (l ₁ = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (l ₂ =

=0,41 мкм) света.

Дано: d= 2мкм l1 = 0,7 мкм l1 = 0,41 мкм	Решение: Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок т дифракционного максимума: т = dsinj /l (3.6)
m1 max-? m2 max -?

где d – период решетки; j - угол дифракции; l - длина волны монохроматического света. Т.к. sin j не может быть больше 1, то число т не может быть больше d / l, т.е.

т (3.7)

Подставив в формулу (3.7) значения, заданные в условии, получим для красных и фиолетовых лучей соответственно:

т₁ = 2,86;

т₂ = 4,88.

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света т_{1 max}= 2 и для фиолетового т_2max= 4.

Ответ: т_{1 max}= 2; т_2max= 4.

3.2.5 Задача 5. Какое наименьшее число N _min штрихов должна содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длиной волн l ₁ = 589нм и l ₂ = 589,6нм? Какова длина l такой решетки, если постоянная решетки d = 5мкм?

Дано: d= 5мкм = 5×10-6м т= 2 l1 = 589,0 нм = 589×10-9м l1 = 589,6нм = 589,6×10-9м	Решение: Разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой: = тN, (3.8)
l-? Nmin =?

где N – общее число щелей решетки, m – порядок спектра, l и l + D l - длины волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой.

Из формулы (3.8) найдем число щелей решётки:

N =

Число штрихов (непрозрачных промежутков) должно быть на 1 больше, чем щелей. Таким образом

N_min = N + 1 =

N_min =

Длина решетки l определится как произведение постоянной решетки d на число щелей N:

l=d×N

l= 5×10^-6×491@2,46×10^-3м=2, 46 мм

Ответ: N_{mi n}= 492, l= 2, 46 мм

3.2.6 Задача 6. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол j = 97⁰ с падающим лучом (рис.3.4). Определить показатель преломления n ₁ жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Дано: j = 970 n 2 = 1,5	Рисунок 3.4
n 1-?

Решение: Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления:

tg i₁ = n_2,1,

где n_2,1 - показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости). Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно,

tg i₁= .

Так как угол падения равен углу отражения, то i = j / 2, и, следовательно,

tg = ,

откуда

n ₁ = .

Сделав подстановку числовых значений, получим

n₁= = 1,33.

Ответ: n₁ = 1,33.

3.2.7 Задача 7. Два поляризатора расположены так, что угол между главными плоскостями поляризаторов составляет a = 60⁰. Определить во сколько раз уменьшится интенсивность J_ест естественного света при прохождении через один поляризатор, через два поляризатора? Коэффициент поглощения света в каждом поляризаторе k = 0,05. Потери на отражение не учитывать.

Дано: a= 600 k= 0,05	Решение: Естественный свет можно представить как результат наложения двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости и полностью задерживает колебания, перпендикулярные ей.
-? -?

Обозначим интенсивность света, прошедшего через один поляризатор J ₀, через два поляризатора- J ₁. С учетом потерь на поглощение интенсивность света на выходе из первого поляризатора будет

J₀= 0,5 J_ест (1 - k). (3.9)

Таким образом, после прохождения через один поляризатор интенсивность света уменьшится в

= раз.

= = 2,1.

После прохождения через первый поляризатор поляризованный свет падает на второй поляризатор, причем угол между направлением колебаний поляризованного света и главной плоскостью второго поляризатора по условию задачи составляет a= 60⁰. Интенсивность света, прошедшего через второй поляризатор, без учета поглощения определяется по закону Малюса:

J₁ = J₀ cos ² a

С учетом поглощения во втором поляризаторе

J₁ = J₀ ( 1 - k) cos²a.

Подставим вместо J ₀ выражение (3.9):

J ₁ = 0,5 J_ест (1 - k)² cos² a.

Найдем уменьшение интенсивности света после прохождения двух

поляризаторов:

= . (3.10)

Подставим в формулу (3.10) числовые значения и произведём расчёты:

= = 8,86.

Ответ: = 2,1; = 8,86.

3.2.8 Задача 8. Определить массовую концентрацию С сахарного раствора, если при прохождении света через трубку длиной l = 20 cм с этим раствором плоскость поляризации света поворачивается на угол φ = 10⁰. Удельное вращение [ α ] сахара равно 1,17 ^.10^-2 рад^.м²/кг.

Дано: l= 20 cм=0,2 м φ = 100 = 0,175 рад [ α ]= 1,17 .10-2 рад.м2/кг	Решение: Раствор сахара является оптически активной средой. Угол поворота плоскости поляризации поляризованного света оптически активными растворами определяется по формуле:
С -?

φ = [ α ] С l (3.11)

Из формулы (3.11) получим формулу для искомой величины:

С = φ / [ α ] l (3.12)

Проверим единицы массовой концентрации С согласно формуле (3.12):

[ C ] = рад^. кг / (рад^.м^2.м ) = кг/ м³

Подставим числовые значения в формулу (3.12)и произведём расчёты:

С = .

Ответ: С = 74,8 кг/ м³.