Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем интегрирования, что применялся в предыдущем случае. Введем обозначение . Последовательно получаем:
,
Теперь интегрируем по , учитывая что , и применяя каждый раз теорему о среднем:
Наконец
(72)
Отсюда, кстати, следует, что для многочленов до 3 - й степени включительно. Из (72) получаем оценку погрешности формулы Симпсона:
, где (73)
Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (71) к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:
Оценка погрешности этой формулы следует из (72):
(74)