Математические модели сигналов

Видеосигналы u(t), рассмотренные в 4.1., не являются основными переносчиками информации. Они переносят ее по внутренним цепям.

Переносчиками информации на дальние расстояния являются электрические и электромагнитные гармонические колебания (в том числе оптического диапазона - лазеры).

Чтобы данное колебание было несущим, необходимо выполнить два основных условия:

среда распространения сигнала должна хорошо пропускать колебания с несущей частотой w_н;

частота несущего колебания должна быть много больше верхней частоты Ω_m в спектре передаваемого сообщения: w_н>>Ω_m, Ω_m=2πF_m – верхняя частота в спектре сообщения (видеосигнала).

Второе условие вытекает из требования, чтобы за один период несущего колебания переносимый информационный параметр изменился незначительно, иначе возникнут искажения.

Сигнал, несущий в себе информацию, можно представить в виде колебания

S(t)=A(t)cos[w_нt+Θ(t)]=A(t)cosψ(t), (4.11)

в котором амплитуда A(t) или фаза Θ(t) изменяются по закону передаваемого сообщения.

Определение 4.2. Модуляцией называется процесс изменения параметров сигнала по закону передаваемого сообщения. Техническое устройство, реализующее процесс модуляции, называют модулятором.

Различают два основных вида модуляции: амплитудную, когда информация закладывается в параметр A(t), и угловую, когда она содержится в параметре ψ(t).

Угловая модуляция, в сою очередь, подразделяется на два вида: частотную и фазовую модуляцию. Эти два вида модуляции между собой тесно связаны.

Второе требование к несущему колебанию означает, что относительные изменения A(t) и Θ(t) за один период несущего колебания должны быть малы по сравнению с единицей. Оно сводится к условиям:

и , (4.12)

где - мгновенная частота несущего колебания, Т – его период.

Модулированный сигнал (4.11), проходя среду распространения, теряет свою энергию и претерпевает случайные искажения, обусловленные свойствами среды и действующими в ней помехами (атмосферными, индустриальными, шумами космических тел, преднамеренными, наводками от соседних каналов). В итоге, на вход приемника поступает смесь сигнала с помехой ξ(t) в виде y(t)=s^*(t)+ξ(t), где s^*(t)=F_ср[s(t)] – искаженный средой распространения переданный сигнал;

ξ(t)- аддитивная помеха, представляющая собой случайный процесс.

Основное назначение приемника состоит в том, чтобы из смеси сигнала с помехами выделить полезное сообщение.

Определение 4.3. Демодуляцией называется процесс извлечения из принимаемых сигналов полезных сообщений. Этот процесс реализуется демодулятором.

Устройство, объединяющее модулятор и демодулятор, кратко называют модемом.

Действие помех приводит к потере информации, которые можно оценить с помощью соотношений (1.10): среднее количество информации I(X,Y), доставленное в пункт приема, равно среднему количеству переданной информации H(X) минус среднее количество информации H(X/Y), потерянное вследствие действия помех.

I(X,Y)= H(X)- H(X/Y). (4.14)

Выражение модулированного сигнала в виде (4.11) удобно для анализа, однако при сложных видах модуляции возникает неоднозначность в выборе функций A(t) и ψ(t) для представления функции s(t): различными функциями A(t) и Θ(t) можно изобразить одну и ту же функцию s(t).

Чтобы сохранить преимущества представления сигнала в виде (4.11) и устранить неоднозначность, используется аналитический сигнал:

, (4.15)

где - вспомогательная функция, определенным образом связанная с сигналом s(t).

Вспомогательная функция должна обладать определенными свойствами – быть сопряженной по Гильберту с функцией s(t):

(4.16)

Пара преобразований (4.16) Гильберта позволяют обеспечить однозначность представления сигнала в виде (4.11).

В частности, если , то , если , то

Зная s(t) и , можно получать искомые функции

Аналитический сигнал переводит анализ в область комплексных переменных, что иногда проще выполняется и устраняются упомянутые ранее неоднозначности.

Аналитический сигнал удобно представить в графическом виде (Рис.4.7)

A(t)

ψ(t)

s(t)

Рис.4.7.

Для простейшего сигнала: аналитический сигнал

z(t)=s(t)+i =coswt+isinwt=e^iwt.

В более общем виде:

z(t)=A(t)cosψ(t)+iA(t)sin(t)=A(t)e^iψ⁽^t⁾.

Аналитический сигнал обладает всеми свойствами комплексных переменных.

В частности:

Исследуемый сигнал s(t) выражают через аналитический сигнал по правилу

где - комплексно сопряженная функция с z(t).

Спектр аналитического сигнала односторонний, поскольку

но .

В итоге имеем

S_z(iw)=2S_s(iw) при w>0.

Представленные здесь спектры S_s(iw) есть не что иное, как спектры видеосигналов, рассмотренные в 4.1. При анализе дискретных сигналов полезно преобразовать разложение Фурье к виду