СМО с потерями

Классический анализ СМО с потерями принадлежит А.К.Эрлангу. Он исследовал модель, представленную на рис. 7.2. Условия задачи:

Имеется m обслуживающих приборов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для любой заявки на обслуживание.

Заявки образуют простейший поток событий интенсивности l (7.3).

Длительность обслуживания одной заявки одним обслуживающим прибором подчиняется экспоненциальному распределению g(t)= m e^-^m^t, t>0, (7.5)

Где 1/ m – средняя длительность обслуживания.

4. Если в момент поступления заявки все приборы заняты, то заявка теряется.

Требуется определить вероятности p_k (t), k= 0,1,…, m, состояний системы, то есть вероятности того, что в любой момент времени t будет занято ровно k обслуживающих приборов.

Процесс функционирования данной СМО удобно представить марковской цепью. Она характеризуется вероятностями состояний и вероятностями переходов из одних состояний в другие.

Рассмотрим случай для m=2. Тогда система будет иметь три состояния: k=0 –свободны все приборы, k=1 - занят один прибор, k=2 – заняты оба прибора. Диаграмма переходов из состояния в состояние показана на рис. 7.3.

Для исследования поведения системы в любой момент времени составляют систему дифференциальных уравнений по методу, хорошо изложенному в учебнике Е.С. Вентцель. Решения указанных уравнений полезны для анализа переходных процессов в системе. В установившемся режиме анализ существенно упрощается: достаточно воспользоваться уравнением равновесного состояния

lp_k_-1= k m p_k (7.6)

Оно сходно уравнению Кирхгофа в электротехнике и выражает тот факт, что интенсивность потока из любого состояния равна суммарной интенсивности потока в

это же состояние. Анализ удобно проводить по диаграмме переходов, представленной на рис.7.4.

Из (7.6) при k=1 имеем

lp₀=mp₁,

или p₁=rp_0,(7.7)

где r=l/m.

При к=2 из того же уравнения получаем:

В общем случае имеем

(7.8)

Следует также помнить, что

. (7.9)

Тогда, с учетом (4.8), получаем, что

. (7.10)

В итоге формула (4.8) принимает вид

. (7.11)

и называется формулой Эрланга.

Она дает предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности приборов обслуживания.

При k=m из (7.11) получаем вероятность того, что поступившая заявка найдет все приборы занятыми, то есть вероятность отказа p_отк = p_m.

Если в системе только один прибор, то вероятность свободного состояния:

. (7.12)