Операции над отношениями

10 11 12 13 14 15 16

Так как отношения являются множествами, то все операции над множествами справедливы для отношений.

Пример 2.9.

r ₁ = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r ₂ = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r ₁ È r ₂ = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r ₁ Ç r ₂ = {<1, 2>}.

r ₁ \ r ₂ = {<2, 3>, <3, 4>}.

Пример 2.10.

Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим на этом множестве следующие отношения:

r ₁ – " £ "; r ₂– " = "; r ₃– " < "; r ₄– " ³ "; r ₅– " > ".

Тогда

r ₁ = r ₂ È r ₃;

r ₂ = r ₁ Ç r ₄;

r ₃ = r ₁ \ r ₂;

r ₁ = ;

Определим еще две операции над отношениями.

Определение 2.7. Отношение называется обратным к отношению r (обозначается r ^– ¹), если

r ^– ¹ = {< x, y > ç< y, x > Î r }.

Пример 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r ^– ¹= {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Пример 2.12.

r = {< x, y > ç x – y = 2, x, y Î R }.

r ^– ¹ = {< x, y > ç< y, x > Î r } = r ^– ¹ = {< x, y > ç y – x = 2, x, y Î R } = {< x, y > ç– x + y = 2, x, y Î R }.

Определение 2.8. Композицией двух отношений r и s называется отношение

s r = {< x, z > çсуществует такое y, что < x, y > Î r и < y, z > Î s }.

Пример 2.13.

r = {< x, y > ç y = sinx }.

s = {< x, y > ç y = Ö x }.

s r = {< x, z > çсуществует такое y, что < x, y > Î r и < y, z > Î s } = {< x, z > çсуществует такое y, что y = sinx и z = Ö y } = {< x, z > ç z = Ö sinx }.

Определение композиции двух отношенийсоответствует определению сложной функции:

y = f (x), z = g (y) Þ z = g (f (x)).

Пример 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Процесс нахождения s r в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x, y, z. для каждой пары < x, y > Î r нужно рассмотреть все возможные пары < y, z > Î s (табл. 2.1).

Таблица 2.1

< x, y > Î r	< y, z > Î s	< x, z > Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>