Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак +) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);

2) при f"(х) < 0 (знак -) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства
f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М₀ (х₀; f(х₀)) графика функции у = f(х) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки х₀, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М₀ имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М₀(х₀; f (х₀)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб