Операции над событиями. Пусть имеется пространство элементарных событий произвольной природы

Пусть имеется пространство элементарных событий произвольной природы. Будем рассматривать в качестве событий подмножества A, B, C,... этого пространства.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть одновременное осуществление событий A и B есть событие невозможное.

Несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в этом испытании.

События A и B называются совместными, если они могут произойти одновременно.

Несколько событий называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других в этом испытании.

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание одной монеты. W = {Г, Р}.

Событие A = {Г} и событие B = {Р} – несовместные.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

События A = {ГГ}, B = {РР}, С = {ГР, РГ} – несовместные. События A = {ГГ} и D ={ГГ, ГР, РГ} – совместные. События B = {РР} и D = {ГГ, ГР, РГ} – несовместные. Событие С = {ГР, РГ} и D = {ГГ, ГР, РГ} – совместные.

В рассмотренном выше примере 3: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {2, 4, 6} и событие B = {1, 3, 5} – несовместные. Событие A = {2, 4, 6} и событие С = {1, 2, 3, 4, 5} – совместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится только одно из них (будем использовать это далее).

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание одной монеты. W = {Г, Р}.

Событие A = {Г} и событие B = {Р} – образуют полную группу событий.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {ГГ} и событие B = {РР}, событие С = {ГР, РГ} – образуют полную группу событий.

В рассмотренном выше примере 3: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {2, 4, 6} и событие B = {1, 3, 5} – образуют полную группу событий.

Суммой (объединением) событий A и B (обозначается A È B или A + B) называется третье событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B,то есть, когда происходит или A, или B, или оба вместе.Благоприятными событию A È B являются все исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A или B.

Аналогично определяется сумма любого числа событий A ₁ È A ₂ È
È A ₃ È … Это событие состоит в осуществлении хотя бы одного из событий A ₁, A ₂, A ₃,… Благоприятными этому событию являются все элементарные исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A ₁, A ₂, A _3, …

Произведением (пересечением) событий A и B (обозначается A Ç B или AB) называется третье событие, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B. Событию A Ç B благоприятны исходы, благоприятные и событию A и событию B, то есть исходы, которые одновременно принадлежат двум событиям A и B.

Согласно определению произведение любого числа событий А ₁ Ç А ₂ Ç А ₃ Ç _… состоит в одновременном осуществлении событий A ₁, A ₂, A ₃, … Благоприятными этому событию являются исходы, благоприятные всем рассматриваемым событиям A ₁, A ₂, A ₃, …

Разностью событий A и B (обозначается A \ B, или A – B) называется третье событие, состоящее в осуществлении события A без осуществления события B. Событие A \ B состоит из всех элементарных исходов, благоприятных событию A, за исключением исходов, благоприятных событию B.

Противоположным событию A называется событие , состоящее в ненаступлении события A. Событию благоприятны все возможные исходы пространства элементарных событий, кроме тех, которые благоприятны событию A. То есть = W \ A, + A= W.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть одновременное осуществление событий A и B есть событие невозможное (A Ç B = Æ).

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание одной монеты. W = {Г, Р}.

Событие A = {выпадение герба}, A = {Г}; событие B = {выпадение решки}, B = {Р}.

A È B состоит в выпадении либо герба, либо решки: A È B = {Г, Р};

A Ç B – невозможное событие: A Ç B = { Æ};

A \ B состоит в выпадении герба: A \ B = {Г};

состоит в выпадении решки: Ā = {Р};

состоит в выпадении герба: = {Г}.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {выпадение герба на двух монетах}, A = {ГГ}; событие B = {выпадение решки на двух монетах}, B = {РР}, событие С = {выпадение решки только на одной монете}, С = {ГР, РГ}, событие D = {выпадение герба хотя бы на одной монете}, D = {ГГ, ГР, РГ}.

A È B = {ГГ, РР}; A Ç B = {Æ}; A \ B = {ГГ}; B \ A = {РР}, = {ГР, РГ, РР},

= {ГГ, ГР, РГ}, A È D = {ГГ, ГР, РГ}; A Ç D = {ГГ}; A \ D = {Æ}; D \ A = {ГР, РГ}, = {РР}.

В рассмотренном выше примере 3: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {выпадение четного числа очков}, A = {2, 4, 6}; событие B = {выпадение нечетного числа очков}, B = {1, 3, 5}, событие С = {выпадение числа очков меньше 6}, С = {1, 2, 3, 4, 5}, событие D = {выпадение числа очков больше 2}, D = {3, 4, 5, 6}.

A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A Ç B = {Æ}; A \ B = {2, 4, 6}; B \ A = {1, 3, 5},

= {1, 3, 5}, = {2, 4, 6}, A È D = {2, 3, 4, 5, 6}; A Ç D = {4, 6}; A \ D = {2}; D \ A = {3, 5}.