К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, и др. Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время t, координаты , скорости частиц . Пример – уравнение теплопроводности
, (17)
где U – температура, – теплоемкость, – коэффициент теплопроводности, q – плотность источников тепла.
Для решения дифференциальных уравнений в частных производных применяется сеточный метод, суть которого – в разбиении области, в которой ищется решение, сеткой узлов заданной конфигурации, после чего составляется разностная схема уравнения и находится его решение, например методом разностной аппроксимации.
Рассмотрим в качестве примера одномерную задачу, близкую по смыслу к (17):
. (18)
Здесь 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t ≤ T.
Граничные условия:
Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем. Метод разностной аппроксимации заключается в том, что каждая производная, входящая в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяется разностным выражением, включающим в себя только значения в узлах сетки.
|
|
Введем равномерную прямоугольную сетку по x и t с шагом h и τ соответственно и заменить производные соответствующими разностными отношениями. Тогда
. (19)
Здесь 1 ≤ k ≤ N -1 – число точек по координате x; 0 ≤ m ≤ M – число точек по координате t. Число неизвестных в (19) больше числа уравнений, недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных условий:
; 0 ≤ k ≤ N.
; ; 0 ≤ m ≤ M.
Схема (19) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции. Такие схемы называют неявными. Для фактического вычисления решения следует переписать схему так:
, где 1 ≤ k ≤ N -1.
; . (20)
Теперь схема представляет собой систему линейных уравнений для определения величин ; правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решений для предыдущего индекса времени.
Другим вариантом решения сеточной задачи является использование интегро-интерполяционных методов (методов баланса), в которых дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке сетки, приближенно вычисляя интегралы по квадратурным формулам.
Литература
- Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков. Численные методы. М., 2002, 632 с.
- Н. Калиткин. Численные методы. М., 1972,
- А. Мудров. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск, 1992, 270с.
- А. Самарский. Введение в численные методы. М.,, 270с.
- Ю. Тарасевич. Численные методы на Mathcad’е. Астрахань, 2000, 70с.
- Г. Коткин, В. Черкасский. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MathLab. Новосибирск, 2001.
- М. Лапчик, М. Рагулина, Е. Хеннер. Численные методы.М., 2004, 384с.
8. В. Пикулев. Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам.
|
|