Системы счисления. Представление данных в ЭВМ в силу физических законов ее функционирования не может осуществляться на основе десятичной системы счисления

Представление данных в ЭВМ в силу физических законов ее функционирования не может осуществляться на основе десятичной системы счисления. Базовым элементом любой цифровой ЭВМ является так называемый ключ, поведение которого характеризуется двумя состояниями – включено (1), выключено (0), то есть состояние этого ключа, а так же множества других ключей в ЭВМ может быть описано с помощью двух цифр: нуля и единицы. Эти соображения послужили причиной применения двоичной системы счисления. Все цифры в числе определяются ее порядком.

Например число 2002,9=2×10³+0×10²+0×10¹+2×10⁰+9×10^-1 можно представить в виде суммы частных произведений. Первый сомножитель принимает значение цифры в десятичной системе счисления, а второй (число десять) основание десятичной системы счисления. Показатель степени при числе 10 равен порядковому номеру позиции цифры в исходном числе.

Для произвольной системы счисления можно записать

k × Nⁱ+k × N^i-1+…+k × N¹+k × N⁰+k × N^-1+…+ k × N^-m

где k – принимает значение любой цифры данной системы счисления; N – основание данной системы счисления; i – номер позиции (показатель степени), которую цифра занимает в числе до запятой, а m – порядковый номер цифры в числе после запятой.

Примеры.

a)

b)

c)

(здесь показать обратное преобразование)

Существенным недостатком двоичной системы счисления является то, что для представления больших чисел необходимо большое количество двоичных разрядов, а это, в свою очередь, приводит к уменьшению надежности в представлении двоичных чисел. Имеется в виду, что вероятность возникновения ошибки при написании числа с увеличением его разрядности возрастает, кроме того, двоичная система счисления не является компактной. С другой стороны, отказываться от этой системы мы не можем, поэтому в качестве обоснованного компромисса используется шестнадцатеричная система счисления. Ее достоинством является компактность в записи больших чисел и простота при переходе от шестнадцатеричной системы к двоичной и обратно. В таблице 1 в первом столбце показаны десятичные числа от 0 до 15, во втором столбце двоичные эквиваленты этих десятичных чисел, а в третьем столбце приведены цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Таблица 1

N(10)	N(2)	N(16)
		A
		B
		C
		D
		E
		F

Для перехода от двоичной системы счисления к шестнадцатеричной системе достаточно разбить исходное двоичное число на группы по четыре цифры с права на лево и затем заменить эти двоичные группы на соответствующие им цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Например.

a) 110.0011.1100.1011.0011₍₂₎ = 63CB3₍₁₆₎

b) 1111.0000.1010.0111₍₂₎ = F0A7₍₁₆₎

Обратное преобразование осуществляется заменой шестнадцатеричных цифр в числе соответствующими двоичными эквивалентами из таблицы 1.

Например.

2ae7b₍₁₆₎ = 00101010111001111011₍₂₎

Логические элементы и таблица истинности

В основе всех цифровых систем лежат четыре основных логических элемента (операций):

1. Логическое сложение, дизъюнкция, ИЛИ

2. Логическое умножение, конъюнкция, И

3. ИЛИ - исключающее

4. Отрицание, НЕ

Все эти элементы обладают свойством функциональной полноты, т.е. на их основе может быть решена любая логическая непротиворечивая функция.

В электротехнических системах логические элементы принято обозначать в виде прямоугольников со сторонами кратным 5 мм, причем, слева показаны входы, справа выходы.

Входные величины по правилам алгебры логики обозначаются, как правило, заглавными латинскими буквами (A, B, C…), так же обозначаются и выходные переменные. Связь между входами и выходами определяется конкретной логической функцией.

Одним из основных инструментов для анализа цифровых комбинационных схем на этих элементах является таблица истинности, которая состоит из N – столбцов, где N – 1 равно количеству входных переменных. А последний столбец принимает значение выходной переменной. Если количество входных переменных равно K, то количество строк в этой таблице равно 2^K. Важной особенностью всех входных и выходных переменных в алгебре логике является то, что все они могут принимать только два значения – нуля или единицы.