Найти полином означает определить значения его коэффициента . Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Определитель этой СЛАУ называется определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Таким образом, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .
Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линейной комбинации многочленов n-ой степени:
.
Многочлены называется базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции необходимо, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:
для .
Если эти условия выполняются, то для любого имеем:
.
Таким образом, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.
|
|
Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.
1-е условие: при .
2-е условие: .
, т.е.
.
Окончательно для базисного многочлена можно записать:
.
Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:
.
Частная форма многочлена Лагранжа при называется формулой линейной интерполяции:
.
Многочлен Лагранжа взятый при называется формулой квадратичной интерполяции:
.