Задача Лагранжа

Рассмотрим случай, когда условия связи в вариационных задачах имеют вид функциональной зависимости.

Пусть - открытое выпуклое множество, , .

Вектор-функцию назовем допустимой, , если , (1)

Каждой вектор-функции поставим в соответствие число по формуле

Требуется минимизировать приведенный функционал на . Сформулированная задача носит название задачи Лагранжа с одной голономной связью (в условии связи нет производной от допустимой функции). При задача Лагранжа имеет вид:

При выводе необходимых условий для , предположим, что если

Теорема 1. Пусть является решением задачи Лагранжа с одной голономной связью. Тогда найдется функция что будут выполняться равенства (2)

Если в уравнение связи входят и производные допустимых функций, то задача Лагранжа называется задачей с неголономной связью.

Опр.1 Проекцией множества А на координаты с номерами называется множество .

Пусть T - открытое выпуклое множество, , - текущая точка множества Q,

Вектор-функцию назовем допустимой, если _{, .} (3)

Каждой вектор-функции поставим в соответствие действительное число по формуле

_. Требуется минимизировать I на . Это задача Лагранжа с одной неголономной связью. Для она имеет вид: _,

_{, , I=1,2,} z(x )= . Пусть вектор – функция , являющаяся решением задачи Лагранжа с одной неголономной связью, дополнительно удовлетворяет условиям:

если . Введём обозначения: _,

Теорема 2 Пусть - решение задачи Лагранжа с одной неголономной связью. Тогда найдется функция , что