Основные понятия численных методов

Методы решения математических задач делятся на 2 группы:

1. точные (прямые) и

2. итерационные (приближенные).

Точные методы позволяют найти решение в аналитическом (явном) виде, т.е. в виде некоторой зависимости Y = F(X), которая представляется совокупностью математических выражений (формул) – алгебраических, дифференциального и интегрального исчисления и др. формулы. Однако, многие задачи не имеют аналитического решения.

Итерационные (приближенные) методы - это методы построения последовательности приближений х₁, х₂,..., х _n к точному решению x*.

Переход от х _n-1 к х _n называется итерацией метода

n – номер итерации (n=0, 1, …)

x _n – n – ое приближение ( x ₀ - начальное приближение)

| x _n - x* | - погрешность n –го приближения

Итерационный процесс сходится, если с увеличением числа итераций n значения итераций х₁, х₂,.., х_n приближаются к точному решению x*.

На практике не всегда удается найти точное решение x*. Поэтому сравниваются 2 соседние итерации и итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится условие |x_n-1 - x_n|< e

Полученная в результате вычислений последняя точка х_п называется приближённым решением задачи, найденным с погрешностью e.

Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.