Составление нормальных уравнений и способы их решений

Обозначим

тогда система уравнений (2) запишется следующим образом:

Для решения этой системы воспользуемся критерием S=min и запи­шем его выражение через левые части уравнений

Для определения приращений и , соответствующих миниму­му критерия S, используем традиционный метод поиска экстремальных значений функции, взяв частные производные от S по и :

и .

Тогда

Выполнив сложение, получаем систему 2-х нормальных уравнений в обозначениях Гаусса:

имеет следующие свойства:

- коэффициенты на главной диагонали положительны;

- коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Это симметричная система.

Универсальная запись нормальных уравнений в матричном виде выглядит следующим образом:

(5)

А^Т - транспонированная матрица A, т.е., если

,то .

Формальная запись решения системы (5) при обращаемой матрице (А^ТА) такова:

(6)

Расшифровка записи (6) приводит к формулам Крамера для решения системы.

При определении места по трём линиям положения можно написать:

Таким образом, получено известное правило Крамера, где D - глав­ный определитель системы, а и - определители для и соответственно.

Контроль правильности решения получают подстановкой найденных неизвестных в так называемое суммарное уравнение, полученное суммированием нормальных уравнений.

.

Способ решения нормальных уравнений по правилу Крамера при п >2становится трудоемким и не всегда устойчивым при малых значе­ниях D.

Другими способами решения системы нормальных уравнений явля­ются:

- способ последовательного исключения искомых величин;

- способ последовательных приближений (итераций).

Первый из них применяется главным образом при неавтоматизи­рованных вычислениях, осуществляемых вручную или с применением микрокалькуляторов. Все расчёты выполняются в специальных схемах. Наиболее употребительна схема Гаусса-Зейделя, в которой вычисления сводятся к простым однообразным действиям, предусмотрены постоян­ный контроль правильности вычислений (отсутствия промахов) и оцени­вание точности полученных результатов.

Способ итераций легко реализуется на ЭВМ, к недостатку следует отнести итерационную процедуру, которая не даёт конечного решения, но быстродействие современных ЭВМ снимает этот вопрос.