2015-01-21
1591
Производя соответствующе вычисления при 
можно получить квадратурную формулу Ньютона – Котеса с четырьмя ординатами,
,
при 
будет, соответственно, получена квадратурная формула k-го порядка с (k+1) ординатами. В таблице приведены коэффициенты Котеса для разного количества ординат.
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1/2 | 1/2 | |||||
| 1/6 | 2/3 | 1/6 | ||||
| 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 | |||
| 7/90 | 16/45 | 2/15 | 16/45 | 7/90 | ||
| 19/288 | 25/96 | 25/144 | 25/144 | 25/96 | 19/288 |
Пример. Вычислить 
, используя формулу Ньютона – Котеса с пятью ординатами (n=4).
Решение. При n=4 шаг равен 
. Составим таблицу для вычисления интеграла:
| 
| 
| 
| 
|
| 7/90 | ||||
| 0.25 | 4/17 | 16/45 | 0.08366 | |
| 0.5 | 0.4 | 4/30 | 0.05333 | |
| 0.75 | 0.48 | 16/45 | 0.17067 | |
| 0.5 | 7/90 | 0.03889 | ||
| 0.34655 |
Таким образом, получили значение определенного интеграла 
Точное значение интеграла:
Приближенное значение интеграла отличается от точного в пятом знаке после запятой, т.е. точность вычислений высокая.
Коэффициенты Котеса при большом числе ординат сложны, практически для приближенного вычисления определенных интегралов можно разбить промежуток интегрирования на большое число мелких интервалов и к каждому из них применить квадратурную формулу Ньютона – Котеса с малым числом ординат.
|
|
|
Индивидуальные задания по численному интегрированию(формула симпсона)
Требуется вычислить интеграл 
с погрешностью 
0,003, и оценить величину шага, обеспечивающую заданную точность при использовании формулы прямоугольников и формулы Симпсона.
| Номер варианта | Функция f(x) | a | b |
| 1 (k=1) | sin 
| 0.2k | 0.2k+1 |
| 2(k=6) | sinx2 | 0.1k | 0.1k+1 |
| 3(k=12) | cos(0,5x2) | 0.1k | 0.1k+2 |
| 4(k=16) | cos(x2) | 0.05k | 0.05k+2 |
| 5(k=22) | 
| 0.05k | 0.05k+1 |
| 6(k=26) | 
| 0.01k | 0.01k+2 |
| 7(k=32) | 
| 0.01k | 0.01k+2 |
| 8(k=36) | 
| 0.01k | 0.01k+3 |
| 9(k=42) | 
| 0.01k | 0.01k+3 |
| 10(k=50) | sin(lnx) | 0.1k | 0.1k+2 |
| 11(k=55) | sin 
| k-51 | k-50 |
| 12(k=60) | sin(ex) | k-55 | k-54 |
| 13(k=65) | 
| k-60 | k-59 |
| 14(k=70) | 
| k-65 | k-63 |
| 15(k=75) | sin 
| k-71 | k-70 |
| 16(k=80) | 
| k-76 | k-75 |
| 17(k=85) | 
| k-83 | k-81 |
| 18(k=90) | 
| 0,005k | 0,005k+3 |
| 19(k=95) | cos
| k-91 | k-89 |
| 20(k=100) | sin0,5
| k-95 | k-94 |
| 21(k=2) | sin
| 0.2k | 0.2k+1 |
| 22(k=10) | sinx2 | 0.1k | 0.1k+1 |
| 23(k=15) | cos(0,5x2) | 0.1k | 0.1k+2 |
| 24(k=20) | cos(x2) | 0.05k | 0.05k+2 |
| 25(k=25) |
| 0.05k | 0.05k+1 |
| 26(k=30) |
| 0.01k | 0.01k+2 |
| 27(k=35) |
| 0.01k | 0.01k+2 |
| 28(k=40) |
| 0.01k | 0.01k+3 |
| 29(k=45) |
| 0.01k | 0.01k+3 |
| 30(k=46) | sin(lnx) | 0.1k | 0.1k+2 |
