Функции нескольких переменных
Определение функции
| Графическое изображение
| Множество равных уровней
| Предел функции
| Непрерывность
|
(функция отображает множество на множество )
В частности,
1. , .
2. , .
| , .
- график функции
|
, где - линия уровня
, где - поверхность уровня
| , если
1. определена в некоторой окрестности точки ;
2. :
выполняется
.
Замечание. Предел функции не зависит от способа стремления т. к т.
| Функция называется непрерывной в точке , если:
1. определена в точке и некоторой ее окрестности ;
2. ;
3. или
где
|
Частные производные
| Дифференциал
|
Определение
| Геометрическое изображение
| Определение
| Применение дифференциала к приближенным вычислениям
|
,
В частности, ,
;
Замечание. Частная производная по переменной находится по правилам дифференцирования функции одной переменной, причем, остальные переменные рассматриваются как постоянные.
| , , т.
;
| - дифференцируемая функция в т.
,
где при .
- главная часть приращения – дифференциал
| ,
,
В частности, ,
,
,
где
|
| | | | | | | |
9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (n=2)
Сложные функции и их дифференцирование
| Неявно заданные функции и их
дифференцирование
|
1. , где , . - полная производная
2. , где ,
3. где - полная производная
| Уравнение определяет неявное задание функции переменных и .
,
, где
|
Приложения дифференциального исчисления
|
Экстремум функции 2-х переменных
| Касательная плоскость и нормаль к поверхности
|
Определение
| Необходимые условия существования экстремума
| Достаточные условия существования экстремума
|
1) - уравнение поверхности
-
уравнение касательной плоскости
-
2) - уравнение поверхности.
- уравнение кас. плоскости
-
уравнение нормали к поверхности
|
| - стационарная точка функции .
Замечание. Экстремум возможен и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует
|
.
1.
а) -
т.
б) -
т.
2. - в точке нет экстремума
3. - требуются дополнительные условия
|
| | | | |