2015-01-21
995
1. Показательное уравнение 
равносильно уравнению:
,
которое получается логарифмированием исходного уравнения по какому-либо основанию 
, 
. В частности, уравнение 
равносильно уравнению: 
.
2. Корнями уравнения 
считаются только решения смешанной системы:
3. Логарифмическое уравнение: 
равносильно уравнению: 
.
4. Логарифмическое уравнение: 
равносильно каждой из следующих систем:
или 
Для решения исходного уравнения переходят только к одной из этих систем (той, которая проще), либо решают уравнение , которое может иметь корни, посторонние для исходного уравнения, и проверяют каждый из них подстановкой в исходное уравнение.
5. Показательное неравенство: 
, равносильно неравенству:
при 
| при 
|
| 
|
6. Логарифмическое неравенство:
равносильно системе неравенств
| при
| при
|
|
|
Примеры решения задач
1. Решить уравнение:
.
Решение. Сначала преобразуем исходное уравнение. Уравнение примет вид: 
.
Это квадратное уравнение относительно величины: 
:
|
|
|
или 
.
Находим его корни: 
.
Поскольку величина 
, как показательная функция, положительна при любом значении 
, то второй корень отбрасываем, как посторонний.
Итак, 
, откуда 
.
Уединяя радикал и возводя обе части уравнения в квадрат, получим:
,
,
откуда: 
.
2. Решить неравенство:
.
Решение. Заметив, что 
и 
, приведем обе части неравенства к одному основанию:
.
Так как основание степени 
, то имеем:
.
Функция 
определена при 
, поэтому: 
. Полагая, 
, приходим к неравенству:
,
откуда вытекает, что 
и 
.
Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:
или поскольку основание логарифма >1, то 
Итак, получаем ответ: 
.
3. Решить неравенство:
.
Решение. Согласно свойствам логарифмов, имеем 
. Поскольку основание логарифма 
, получаем равносильное неравенство: 
(при этом 
выполняется автоматически).
Далее, имеем 
и так как 
, то получаем равносильную данному неравенству систему:
т.е. 
Из второго неравенства системы следует, что 
; значит, 
и задача сводится к решению равносильной системы:
т.е. 
Откуда имеем, что 
. Итак, получаем ответ: 
.
4. Найти область определения функции:
.
Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:
Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на 
:
Так как основание логарифма 
, то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе:
т.е. 
Последняя система равносильна неравенству:
|
|
|
,
которое решается методом интервалов (причем 
и 
). С помощью рис. 9 получаем ответ: 
.
