Условия Гаусса-Маркова для случайного члена

Для того что­ бы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квад­ратов, давал наилучшие из всех возможных результаты, случайный член дол­жен удовлетворять четырем условиям, известным как условия Гаусса—Маркова. Если эти условия не выполнены, исследователь должен это сознавать. Если корректирующие действия возможны, то аналитик должен быть в состоянии их выполнить. Если ситуацию исправить невозможно, исследователь должен быть способен оценить, насколько серь­езно это может повлиять на результаты. Рассмотрим теперь эти условия одно за другим:

1-е условие Гаусса—Маркова: для всех наблюдений

Первое условие состоит в том, что математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайный член будет положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематичес­кого смещения ни в одном из двух возможных направлений. Фактически если уравнение регрессии включает постоянный член, то обыч­но бывает разумно предположить, что это условие выполняется автоматичес­ки, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в y, которую не учитывают объясняющие переменные, включен­ные в уравнение регрессии.

2-е условие Гаусса—Маркова: pop. постоянна для всех наблюдений

Второе условие состоит в том, что дисперсия случайного члена должна быть постоянна для всех наблюдений. Иногда случайный член будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы он по­рождал большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других. Эта постоянная дисперсия обычно обозначается , или часто в более крат­ кой форме а условие записывается следующим образом: pop. = для всех I (3.12)

Так как = 0 и pop. = ,условие можно переписать в виде:

= для всех i.

Величина , конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайного члена. Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрес­сии, найденные по обычному методу наименьших квадратов, будут неэффек­тивны, и можно получить более надежные результаты путем применения модифицированного метода регрессии.

3-е условие Гаусса—Маркова: pop.

Это условие предполагает отсутствие систематической связи между значени­ями случайного члена в любых двух наблюдениях. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и поло­жительным, или малым и отрицательным). Случайные члены должны быть абсолютно независимы друг от друга.

В силу того, что , данное условие можно записать следую­щим образом:

= 0 (3.14) Если это условие не будет выполнено, то регрессия, оцененная по обычному методу наименьших квадратов, вновь даст неэффективные результаты.

4-е условие Гаусса—Маркова: случайный член должен быть распределен независимо от объясняющих переменных

В большинстве глав книги мы будем в сущности использовать более сильное предположение о том, что объясняющие переменные не являются стохастичес­кими, т. е. не имеют случайной составляющей. Значение любой независимой пе­ременной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрес­сии. Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю. Так как = 0, то

(3.15)

Следовательно, данное условие можно записать также в виде:

= 0. (3.16)

Вопрос №7. Вопрос №8.:

Установлено 5 стадий при проверке гипотез:

1. Определение нулевой () и альтернативной гипотезы () при исследовании. Определение уровня значимости критерия.
2. Отбор необходимых данных из выборки.
3. Вычисление значения статистики критерия, отвечающей .
4. Вычисление критической области, проверка статистики критерия на предмет попадания в критическую область.
5. Интерпретация достигнутого уровня значимости р и результатов.