Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

34. Разложение в ряд Маклорена функций е^х, sin х, cos х, ln(l+x), (1 + х)^а.

Разложение элементарных функций по степеням x при x → 0: , где .

Приложение степенных рядов для решения задачи Коши для ДУ n-го порядка.

1 способ. (метод неопределенных коэффициентов)

Этот метод наиболее удобен для ЛДУ с переменными коэффициентами.

Пусть требуется решить ДУ:

с начальными условиями:

Предполагая, что коэффициенты и свободный член разлагаются в ряды по степеням, сходящиеся в некотором интервале, искомое решение y = y(x) ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

Коэффициенты определяются при помощи начальных условий:

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд два раза (в зависимости от порядка ДУ) и подставляем в выражение для функции у и ее производной в уравнение (1), заменив в нем их разложениями.

В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (2) сходится в том же интервале и служит решением уравнения.

2 способ (метод последовательного дифференцирования)

Решение у = у(х) уравнения ищем в виде ряда Тейлора.

При этом первые 2 коэфф. находим из нач. условий

Подставив в уравнение (1) находим третий коэфф.

. Значения …….. находим путем последовательного дифференцирования уравнения(1) по х и вычисления производных при. Найденные значения производных(коэффициентов) подставляем в равенство(3).