Определители, их свойства

Пусть дано конечное множество М; в качестве такого множества можно взять М = {1,2,..,n}.

Определение 1. Биекция j: М ® М называется подстановкой n-ой степени.

Обозначим множество всех подстановок на множестве М через .

Докажите самостоятельно, что |S_n| = n!

Определим на множестве S_n операцию композиции двух подстановок (биекций) "xÎM x(j ° y)=(xj)y.

Замечание 1. Из определения следует, что композиция двух подстановок будет снова подставной, т.е. множество S_n замкнуто относительно операции композиции (по теореме о композиции биекций).

Пример 1. Найти композицию двух подстановок:

, видим, что j ° y ¹ y ° j, т.е. операция (°) некоммутативна.

Пусть дано множество М={ l,2,..,i,k,...n}.

Запишем одну из перестановок этого множества, например, (1,2,...i, k…n)

Будем говорить, что пара элементов (i, к) образует инверсию, если:

1. i > k.

2. i стоит впереди (слева) от к.

Определение 2. Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если в ней нечетное число инверсий.

Пример 2. Пусть М = {1,2,3,4,5}, (3,1,4,2,5) одна из его перестановок.

Определим число инверсий в этой перестановке. Для этого поступаем так:

Находим наименьший элемент (это 1), зачеркиваем его и считаем, сколько элементов стоит впереди 1, которые больше 1. Видим, что это одно число 3, затем зачеркиваем двойку и считаем, со сколькими элементами она находится в инверсии и так продолжаем до последнего числа:

1+2+0+0+0=3. Следовательно, перестановка (3.1,4,2,5) - нечетная.

Определение 3. Подстановка j = называется четной, если перестановка, стоящая в ее нижней строке, будет четной.