Теорема 1.8 о промежуточной функции.
Если в некоторой d-окрестности точки значения функции заключены между значениями функций и , т. е. и при этом = b, то .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть .
Тогда ,
.
Выберем , тогда
.
Теорема 1.9 о первом замечательном пределе.
Для любой бесконечно малой функции предел отношения равен единице, т. е. . (1.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим окружность радиуса R с центром вточке О, сектор OAB с углом a и треугольники OAB, OAС, (АС – касательная к окружности) (рис. 8).
Рис. 8
Очевидно, для площадей этих фигур справедливо соотношение
.
Площади треугольников и сектора найдем по известным формулам, получим
.
Умножим данное неравенство на , имеем .
Для обратных величин этого неравенства справедливо соотношение
.
Так как , то по теореме о промежуточной функции
.
Бесконечно малые функции, предел отношения которых равен единице, называются эквивалентными. Записывают ~ a.
Пример 1.5. .
Пример 1.6. .
Это значит, что tg x и х являются эквивалентными функциями (tg x ~ х).
|
|