1. Сравнить бесконечно малые функции и значит найти предел их отношения .
2. Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.
Пример 1.11. Сравнить бесконечно малые функции
и .
Находим, не существует. Следовательно, бесконечно малые функции и несравнимые.
3. Бесконечно малые функции называются одного порядка малости, если предел их отношения равен отличной от нуля конечной величине.
, где .
Пример 1.12. Сравнить бесконечно малые функции
и при х ® 2.
Находим .
Следовательно, бесконечно малые функции и одного порядка малости.
4. Бесконечно малые функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.
~ .
5. Бесконечно малая функция называется более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой , если предел их отношения равен нулю
.
Запись = о () означает, что более высокого порядка малости по сравнению с . (Здесь в записи используется о – буква «о» маленькая).
Пример 1.13. , .
6. Бесконечно малая функция называется n -го порядка малости по сравнению с , если , где .
Пример 1.14. Определить порядок малости по сравнению с x при .
Находим
.
Следовательно, бесконечно малая функция 2-го порядка малости по сравнению с x.
Теорема 1.10. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е.
, где ~ , ~ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ~ , ~ , получаем
.
Пример 1.16. Найти предел .
Так как sin3 x ~ 3 x и tg5 x ~ 5 x, то .