Приближенные вычисления

В процессе обработки результатов физического эксперимента могут встречаться точные и приближенные числа.

К точным числам относятся числовые коэффициенты и показатели степени в формулах, а также те величины после которых в скобках ставится слово «точно». Например, температура тройной точки воды

T = 273,16 К (точно).

Погрешность точных чисел равна нулю. К приближенным числам относятся: результаты различных величин, округленные значения точных чисел, табличные значения математических, физических, химических и других величин и т.д.

Оценка точности приближенных величин проводится с помощью числа значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Так числа 3,1416; 6,011 х 10⁶; 0,0123 имеют соответственно пять, четыре и три значащих цифры.

Приближенные числа, полученные в вычислениях из таблиц или найденные другими способами, содержат разное количество значащих цифр, среди которых имеются верные, сомнительные и неверные цифры.

Верными цифрами приближенного числа называются n первых цифры, если абсолютная погрешность числа не превышает половины единицы разряда n-й цифры (если превышает – число верных цифр n-1). В приближенных числах 2216 + 2; 628,5 + 1,2; (63,3 + 0,6) х 10³ верными являются соответственно три, две и одна первые значащие цифры.

Следующая за последней верной цифра в числе является не точно определенной (в ней содержится погрешность) и поэтому называется сомнительной (таких может быть две в случае наличия двух цифр в погрешности). Все последующие за сомнительной цифры будут неверными и должны быть отброшены.

В числовых значениях табличных данных принято записывать только верные цифры. Следовательно, абсолютная погрешность этих чисел не превышает половины единицы последнего разряда. Если последней цифрой десятичной дроби является нуль, его не опускают, поскольку его разряд указывает на величину погрешности. Например, 3(+ 0,5); 3,0(+ 0,05); 3,00(+ 0,005).

Существуют различные методы обработки результатов. Поскольку все они являются приближенными, найденные погрешности также являются приближенными. В соответствии с точностью методов принято определять погрешность опытов не более чем до двух, а в учебных лабораториях не более чем до одной значащей цифры. Например:

Δ I =0,42 А ≈ 0,5 А; Δ U =0,43·10^-3 В ≈ 0,5·10^-3 В. Исключением из этого правила являются погрешности, первая цифра которых – единица (Δ R =1,46 Ом ≈ 1,5 Ом).

Исходя из этого правила, относительную погрешность также округляют от двух или одной цифр.

В процессе обработки результатов измерений выполняют математические операции над приближенными числами. Естественно, что в результате таких операций получают также приближенные числа. Распространенной ошибкой является запись результата с дисплея калькулятора. Например, при вычислении сопротивления по формуле Ома R = U / I, при U =3,0 В; I =2,1 А калькулятор показывает на дисплее 1,42857143. И студент записывает данный, с позволения сказать, результат в тетрадь, а потом доказывает его правомерность: калькулятор врать не может, он исправен! Но ведь получить результат с точностью большей, чем это допускают исходные данные в процессе расчетов бессмысленно. Поэтому приведем здесь правила приближенного определения количества сохраняемых значащих цифр при различных математических операциях.

1. Сложение и вычитание. Вначале определяют те разряды, в которых в каждом из слагаемых стоят сомнительные цифры. Находят сомнительный старший из этих разрядов. Сомнительная цифра в сумме (разности) будет находится в этом разряде, поэтому при сложении или вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько же десятичных знаков.

Пример. 12,1+4,34+0,402=16,842≈16,8.

2. Умножение и деление. При умножении и делении приближенных чисел с одинаковым количеством значащих цифр в результате следует сохранять то же число значащих цифр.

Пример. 62,6 х 3,60 = 225,36 ≈ 225.

Если количество значащих цифр в сомножителях различно, в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько в сомножителе с наименьшим их количеством.

Пример. 73,5 х 0,84 = 61,74 ≈ 62.

3. Возведение в степень. Поскольку возведение в степень представляет собой произведение одинаковых сомножителей, то в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.

Пример. 0,44² = 0,1936 ≈ 0,19.

4. Извлечение корня. При извлечении корня любой степени из приближенного числа следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

5. Логарифмирование. В мантиссе (независимо от характеристики) логарифма приближенного числа сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет само число. Аналогичное правило справедливо и для обратной операции.

6. Правило запасной цифры. Для повышения точности результатов в промежуточных вычислениях необходимо сохранять на одну значащую цифру больше, чем это рекомендовано вышеизложенными правилами. В окончательном результате эта цифра отбрасывается.