Следует подчеркнуть, что изложенный подход позволяет вычислять обобщенные силы (воздействия), которые обеспечивают постулируемую ранее зависимость некоторых координат от времени. Рассмотрим примеры.
Математический маятник с изменяющейся длиной (рис.6.2,а).
Материальная точка массы подвешена на нити, длина которой изменяется по закону . Система имеет две обобщенные координаты: и . Кинетическая энергия , мощность
Уравнения Лагранжа ; .
Из второго уравнения можно найти , из первого уравнения определяется натяжение нити .
Рис. 6.2. Постулируемая зависимость координат от времени |
а) |
S |
б) |
Движение диска по вращающемуся стержню (рис. 6.2,б). Диск массы и радиуса катится по вращающемуся стержню. Осевой момент инерции стержня , жесткость пружины .
Система имеет две степени свободы . Запишем уравнения Лагранжа:
, .
Сообщим находящейся в актуальном (т. е. произвольном) положении системе скорости и напишем кинетическую энергию:
|
|
,
где – скорость центра, угловая скорость, центральный тензор инерции диска.
Приняв стержень за подвижную систему отсчета, получим
.
Обобщенные силы найдем «по определению» из выражения для мощности , причем ввиду независимости обобщенных скоростей можно для упрощения вычислений считать нулями все скорости кроме одной.
1. Примем : .
2. Примем :
где длина недеформированной пружины.
Уравнения Лагранжа будут иметь вид:
;
.
Рассмотрим частный случай движения, при котором стержень вращается с постоянной угловой скоростью (именно этот случай чаще всего встречается в учебных задачах).
Второе уравнение запишем в виде
.
Для достаточно жесткой пружины это уравнение описывает гармонические колебания:
.
Первое уравнение дает нам значение момента, который необходим для вращения с постоянной угловой скоростью: