Метод замены переменной

Часто бывает, что для вычисления интеграла непосредственно подобрать первообразную для f(x) нельзя, но известно, что она существует. Заменим в подынтегральном выражении переменную х некоторой функцией, имеющей непрерывную производную: x = j(t), тогда Докажем, что в этом случае имеет место равенство:

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части вместо t будет подставлено его выражение через х, т.е. функция j(t) должна иметь обратную. Для доказательства справедливости последнего равенства покажем, что производные по х левой и правой частей равны между собой, при этом в правой части переменную t считаем промежуточным аргументом сложной функции:

Т.к. зависимость между х и t выражается равенством x = j(t), то по правилу дифференцирования обратной функции имеем:

Таким образом, получим:

ч.т.д.

Пример.

Чтобы “вернуться к старой переменной”, вспомним, что x = 2sint, откуда

Подставив это выражение в полученное равенство, имеем:

Таким образом, метод замены переменной используется, когда подобрать непосредственно первообразную для функции нельзя.

3. Интегрирование по частям

Среди правил дифференцирования есть правила вычисления производных произведения и частного. Для интегрирования таких общих правил нет, поэтому операция нахождения первообразной - более сложная и творческая, зачастую используются искусственные не всегда очевидные преобразования.

Большое значение имеет метод интегрирования по частям.

Теорема. Пусть u = u(x) и v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции.

Тогда: .

Доказательство.

Найдем d(uv) = udv + vdu, откуда udv = d(uv) - vdu.

Интегрируя почленно, получим: - это выражение называют формулой интегрирования по частям.

Во многих случаях эта формула позволяет перейти от сложного интеграла к более простому

u называют дифференцируемым множителем, т.к. в процессе примене-

ния формулы его приходится дифференцировать; по той же причине dv назы-

вают интегрируемым множителем.

Пример.

Так как неопределенный интеграл содержит одну произвольную постоянную, то при нахождении функции v по ее известному дифференциалу dv (интегрированием) можно брать одну первообразную.

Таким же способом вычисляются интегралы вида:

где

р(х) - многочлен, a - действительное число, причем здесь за дифференцируемый множитель принимают р(х). При этом формула интегрирования по частям используется столько раз, какова степень многочлена, - например:

{еще раз по частям}:

Этим же методом берутся интегралы вида:

и некоторые другие, причем здесь за dv принимают выражение p(x)dx,

например:

Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит искомый интеграл “к самому себе”. В этом случае полученное выражение рассматривают как уравнение относительно исходного интеграла: