Для вычисления вероятностей сложных событий используются следующие теоремы теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Если события и несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:
. (1)
Сформулированная теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Если же события и совместны, то
. (2)
Из теоремы сложения вероятностей следует, что если и – противоположные события, то
или . (3)
Теорема умножения вероятностей. Если события и независимы (т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или непоявления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:
. (4)
Сформулированная теорема также справедлива для любого конечного числа сомножителей.
Задача 2. По каналу связи передаются три сообщения. Вероятность того, что первое сообщение будет искажено равна 0,1, второе – 0,2, третье – 0,3. Найти вероятности следующих событий: – все три сообщения переданы без искажения; – ровно одно сообщение передано без искажения; – хотя бы одно сообщение искажено.
|
|
Решение.
Введем в рассмотрение вспомогательные события – k-ое сообщение передано без искажений, – k-ое сообщение искажено, . Согласно условию , тогда . Аналогично, и , и .
Так как событие можно представить в виде и события независимы, то вероятность события можно найти по теореме умножения вероятностей для независимых событий:
.
Событие можно представить следующим образом:
,
причем слагаемые , и являются попарно несовместными событиями. Поэтому на основании теоремы сложения вероятностей (1) получаем:
.
Для вычисления вероятностей событий , и используем теорему умножения вероятностей:
;
;
.
Таким образом, окончательно получаем:
.
События и являются противоположными, следовательно,
.
Ответы: , , .