Основные понятия. Теорема 1. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a, и у функции f(x) существуют производные любого порядка в этой точке

Теорема 1. Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки a, и у функции f (x) существуют производные любого порядка в этой точке, то она может быть

представлена рядом.

Определение. Областью сходимости ряда Тейлора с центром разложения в точке a будем называть множество точек x, удовлетворяющих неравенству | x − a | < R, где R называют радиусом сходимости.

Теорема 2.Радиус сходимости для ряда Тейлора определяется по формуле Коши-Адамара:

,

где под ck в данном случае понимаем.

Напомним, что эта формула верна для любого ряда вида.

Часто используются следующие основные разложения в ряд Тейлора с центром разложения в точке x = 0:

;

.

В случае приближенных вычислений ряд заменяется его частичной суммой

Число n определяется точностью, с которой необходимо провести

вычисления. Оценку точности можно получить по остаточному члену ряда Тейлора, для которого существуют разные формы представления, но наиболее часто используются

остаточный член в форме Лагранжа

или остаточный член в форме Коши:

.

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 5