Примеры решения задач. 1.Запишите ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций для функции

1. Запишите ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций для функции

.

Решение. Коэффициенты Фурье равны

поэтому многочлены Фурье имеет вид

,

Ряд Фурье

,

сходится равномерно на любом промежутке x Î [ d 1; 2 p − d 2], 0 < d 1< 2 p − d 2< 2 p, в чем легко убедиться с помощью признака Абеля-Дирихле, поэтому его сумма на указанном множестве равна f (x).

На любом промежутке x Î(p; p + d 3), d 3> 0, равномерная сходимость отсутствует. В этом легко убедиться с помощью критерия Коши. Отсутствие равномерной сходимости на промежутке вида x Î(p; p + d 3) вытекает также из теоремы о непрерывности равномерного предела ряда непрерывных функций.

Сумма ряда в точках разрыва f (x) равна, в чем легко убедится

а) подстановкой этого значения переменной,

б) с помощью теоремы о сумме ряда Фурье в точке разрыва кусочно–гладкой функции.

2. Запишите ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций для функции f (x) = x, x Î (− p; p), f (x + 2 p) = f (x), f (p + 2 pn) = 0.

Решение. Коэффициенты Фурье равны

поэтому ряд Фурье имеет вид

.

Ряд сходится равномерно на любом промежутке x Î [− p + d 1; p − d 2], в чем легко убедиться с помощью признака Абеля-Дирихле, поэтому его сумма на указанном множестве равна f (x).

На любом промежутке x Î (p − d 3; p + d 3), d 3> 0, равномерная сходимость отсутствует. В этом легко убедиться с помощью критерия Коши. Отсутствие равномерной сходимости на промежутке вида x Î (p − d 3; p + d 3) вытекает также из теоремы о непрерывности равномерного предела ряда непрерывных функций.

Сумма ряда в точках разрыва f (x) равна 0, в чем легко убедится а) подстановкой этого значения переменной, б) с помощью теоремы о сумме ряда Фурье в точке разрыва кусочно–гладкой функции.

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 6