2015-02-04
330
Пример 1. Функция 
, где 
- постоянные числа, называется линейной.
Пример 2. Функция 
, где 
- постоянные числа, называется квадратической.
В дальнейшем мы ограничимся в основном рассмотрением функций двух переменных. Функцию двух переменных будем обозначать 
Окрестностью точки 
называется круг, содержащий точку 
Круг на плоскости является обобщением интервала на прямой.
График функции двух переменных 
представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Для построения графика функции полезно рассмотреть функции одной переменной 
и 
, представляющие сечения графика плоскостями, параллельными координатным плоскостям 
и 
, т.е. плоскостями 
и 
.
Пример 3. Построить график функции 
|
. Область определения – все множество точек плоскости Оху. Область значений – промежуток 
. Данная функция представляет собой параболоид вращения.
 |
В вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Oyz получаются параболы 
|
|
|
Поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Одним из наглядных инструментов изучения поведения функции двух переменных являются линии уровня. Понятие линии уровня широко используется в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт.
Определение. Линией уровня функции двух переменных называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью 
. Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной С, проектируются на координатную плоскость Oxy.
Пример. Построить линии уровня функции 
.
Решение. Линия уровня z=C это кривая на плоскости Oxy, задаваемая уравнением 
. Это уравнение окружности с центром в точке (0,1) и радиусом 
.
Определение (условия непрерывности). Функция , определенная в области G, называется непрерывной в точке 
, если во всех точках (x,y), близких к точке , значение функции 
лишь мало отличается от 
.
