Способ итераций

В ряде случаев более удобным способом решения уравнений является способ итераций (повторений). Для применения этого способа исходное уравнение ƒ(c) =0 нужно представить в форме

х = φ (х) (2.7)

Это всегдаможно сделать, и при том многими способами. Например, уравнение х³ - 2 х - 5 = 0 можно заменить следующими равносильными уравнениями:

Пусть каким-либо способом выделен интервал [ а,b ], в котором находится значение корня уравнения, и х₀ – любая точка этого интервала. Будем считать х₀ нулевым приближением. Подставим х₀ в правую часть уравнения (2.7) и получим первое приближение

x₁ = φ(x₀).

Значение х₁, снова подставим в уравнение (2.7), получим второе приближение х ₂ = φ (х₁). Аналогичным способом находим х ₃ = φ (х₃), х ₄ = φ (х₄) и т. д. Этот процесс можно продолжать неограниченно, получая последовательность чисел х₀, х₁, х₂,..., х_n, … Если эта последовательность имеет предел lim _n_→∞ х_n= х^*, то х^* является корнем уравнения (2.7). В самом деле предполагая, что φ (х) – непрерывная функция, получим

Однако может случится, что последовательность х₀, х₁, х₂,..., х_n, … не имеет предела и даже расходится, тогда этот способ не применим.

Представляет большой интерес выяснить условия, при которых итерационный процесс сходится. Эти условия вытекают из следующей теоремы.

Теорема. Пусть интервал [ а, b ] является интервалом, в котором находится только один корень уравнения х = φ(х) и во всех точках этого интервала производная φ’(х) удовлетворяет неравенству.

| φ(х) | ≤ М < 1 (2.8)

Если при этом выполняется условие а ≤ φ(х) ≤ b, то итерационный процесс сходится, причем за нулевое приближение х₀ можно взять любую точку интервала [ а, b ].

Пример. Дано уравнение х ³ + 12 х – 2 = 0. Найти один положительный корень. Выделим интервал, в котором содержится один корень. Результаты представим в табл. 2.

Таблица 2

х			0,5	0,2	0,1
f (x)			4,125	0,408	-0,8

Из приведенной таблицы следует, чтоуравнение имеет значение корня, заключёное между 0,1 и 0,2. Для уточнения корня применим способ итераций. Представим заданноеуравнение в виде ( 2. 7), что удобно для применения этого способа, а именно:

(2.8)

Примемза начальное приближение х₀ = 0,16 и будемвычислять последовательные приближения, подставляя ихв(2.8) предыдущие приближенные значения корня. В результате получим:

х ₀ = 0,1600,

х ₁ = 0,16628 0,1663,

х₂ = 0,1663.

Видим, что приближения x_t и х₂ совпадают. При дальнейшем вычислении будем получать одно и то же число. Поэтому на втором приближении процесс закончим. При возрастании номера члены последовательности приближаются к истинному значению корня , т.е. полученное приближение является приближенным значением с недостатком. Причем х ₂ = 0,1663 есть искомое приближенное значение корняс четырьмя десятичными знаками.

Поясним геометрически способ итераций. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = φ (х). Каждый действительный корень х ^* уравнения (2.7) является абсциссой точки пересечения М кривой у = φ (х) с прямой у = х – рис. 2.3.

Отправляясь от некоторой точки А ₀ [ х₀, φ (х₀)], строим ломаную линию А ₀ В ₁ А ₁ В ₂ А ₂... («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и Оу. Вершины А ₀ А ₁ А ₂,... лежат на кривой у = φ(х), а вершины В ₁, В ₂ на прямой y = х. Общие абсциссы точек A ₁ и B ₁, А ₂ и В ₂, и т.д., очевидно, представляют собой последовательные приближения x₁, x₂,... корня х^*.

Рис.2.3

Возможен и другой (рис. 2.4) вид ломаной («спираль»). Легко догадаться, что решение в виде «лестницы» получается, если производная φ'(х) положительна, а решение в виде «спирали» - если φ'(х) отрицательна.

Рис 2.4

На рис. 2.3 кривая у = φ(х) в окрестности корня х^* пологая, т. е. | φ'(х)| < 1, и процесс итерации сходится. Однако для случая | φ'(х)| > 1 процесс может быть расходящимся (рис. 2.5).

Итерационный процесс нахождения приближенного значения корня сходится на интервале [ а, b ], если, согласно выше приведенной теореме, выполняются условия (2.8). При этом Оценку погрешности последовательных приближений дает формула

|х^* - х_п| < (b- а) М^п.