Метод фазовой плоскости

Метод фазовой плоскости (ФП) используется для исследования динамики и устойчивости систем второго порядка как линейных, так нелинейных с любым типом нелинейного элемента.

Состояние любой системы -го порядка в конкретный момент времени может быть охарактеризовано значениями ее выходной координаты и ее производных в -мерном пространстве. Если в конкретный момент времени по осям координат отложить выходную переменную или ее отклонение и производные, то получится точка в пространстве, которую называют изображающей точкой. Это пространство называется фазовым. Если состояние системы меняется с течением времени, то изображающая точка перемещается в фазовом пространстве и траектория движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Фазовые траектории в пространстве не пересекаются. Каждым начальным условиям соответствует своя фазовая траектория. Если система 2-го порядка, то фазовое пространство превращается в фазовую плоскость.

Фазовая траектория (ФТ) – движение изображающей точки на плоскости с координатами: ось Х – выходная координата системы, ось У – скорость изменения выходной координаты . Совокупность ФТ для различных начальных условий и особых точек (точек равновесия) называют фазовым портретом системы. Он дает возможность оценить поведение системы и устойчивость «в большом», «в малом» и в целом.

Уравнения ФТ получают из системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных:

(*)

Интегрируя (*), получают уравнение ФТ:

Для устойчивой системы ФТ представляют собой закручивающиеся логарифмические спирали; если в системе возникают незатухающие колебания, то ФТ, соответствующая этому режиму, замкнута (предельный цикл); если колебания расходятся, то логарифмическая спираль раскручивается, если колебания затухают – логарифмическая спираль закручивается. Если система содержит нелинейные элементы (НЭ) с кусочно-линейными статическими характеристиками, то фазовая плоскость разбивается линиями переключения, проходящими через точки излома НЭ, на области с различными уравнениями ФТ, их смена проходит на линии переключения.

При исследовании свободного движения необходимо задать начальное положение изображающей точки (), при устойчивой системе ФТ стремится:

а) к началу координат () или зоне нечувствительности (при наличии соответствующего НЭ);

б) предельному циклу – если возникает режим незатухающих автоколебаний.

При исследовании вынужденного движения начальное положение изображающей точки может быть любое, а ФТ заканчивается в точке с координатами , ; где – некоторое отклонение, обусловленное наличием зоны нечувствительности. При наличии незатухающих колебаний – ФТ – предельный цикл, смещенный на координату .