Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости

Цель работы: исследовать поведение нелинейной системы и влияние нелинейных элементов на фазовые траектории.

Общие положения

Метод фазовой плоскости (ФП) используется для исследования динамики и устойчивости систем второго порядка как линейных, так нелинейных с любым типом нелинейного элемента. Фазовая траектория (ФТ) – движение изображающей точки на плоскости с координатами: ось Х – выходная координата системы, ось У – скорость изменения выходной координаты . Совокупность ФТ для различных начальных условий и особых точек (точек равновесия) называют фазовым портретом системы. Он дает возможность оценить поведение системы и устойчивость «в большом», «в малом» и в целом.

Уравнения ФТ получают из системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных:

(*)

Интегрируя (*), получают уравнение ФТ:

Для устойчивой системы ФТ представляют собой закручивающиеся логарифмические спирали; если в системе возникают незатухающие колебания, то ФТ, соответствующая этому режиму, замкнута (предельный цикл); если колебания расходятся, то логарифмическая спираль раскручивается. Если система содержит нелинейные элементы (НЭ) с кусочно-линейными статическими характеристиками, то фазовая плоскость разбивается линиями переключения, проходящими через точки излома НЭ, на области с различными уравнениями ФТ, их смена проходит на линии переключения.

При исследовании свободного движения необходимо задать начальное положение изображающей точки (), при устойчивой системе ФТ стремится:

а) к началу координат () или зоне нечувствительности (при наличии соответствующего НЭ);

б) предельному циклу – если возникает режим незатухающих автоколебаний.

При исследовании вынужденного движения начальное положение изображающей точки может быть любое, а ФТ заканчивается в точке с координатами , ; где – некоторое отклонение, обусловленное наличием зоны нечувствительности. При наличии незатухающих колебаний – ФТ – предельный цикл, смещенный на координату .

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Собрать систему, показанную на рисунке 1 (линейная часть системы астатическая).

Рисунок 1 – Структура системы

Рисунок 2 – Виды нелинейных элементов

2. Задать НЭ и его параметры и параметры линейной части ().

3. Задать начальное положение изображающей точки.

4. Снять графики , и ФТ.

5. Пункты 3 и 4 повторить для различных НЭ, изменив зону нечувствительности и неоднозначности, коэффициент усиления.

6. Исследовать вынужденное движение для релейных систем, задав , .

7. Сделать выводы о влиянии НЭ на поведение системы.

8. Собрать схему на рисунке 3 (система статическая)

Рисунок 3 – Структура системы

Повторить исследования по пунктам 2-7.

Содержание отчета

1. Схемы исследования.

2. Результаты исследования (ФТ и графики изменения во времени выходной координаты и скорости).

3. Нанести на ФТ линии переключения. Оценить:

а) влияние зон нечувствительности и неоднозначности и коэффициента усиления линейной части на поведение системы;

б) влияние астатизма;

в) сделать выводы об устойчивости системы.

4. Записать уравнения ФТ.