Волноводы

Каждый конкретный тип волны в волноводе может распространяться в том случае, если

(2)

где – длина волны генератора; – критическая длина

волны, которая определяется размерами и формой поперечного сечения волновода.

Для волн типа Е_mn и H_mn в прямоугольном волноводе

,

где а, b – размеры поперечного сечения волновода. Для волн типа Е_mn в круглом волноводе

,

где a – радиус волновода; – n -й корень уравнения J_m(х) =0. Для волн типа Н_mn в круглом волноводе

где – n -й корень уравнения J'_m(х) =0.

Значения корней и приведены в прил.1, 2. Фазовая скорость волны в волноводе определяется величиной продольного волнового числа:

,

где ; g = –поперечное волновое число.

Если выполняется условие (2), то , значение h действительное и данный тип волны распространяется. Если условие (1) не выполняется, то , значение h мнимое и даный тип волны затухает, не распространяясь.

Для нахождения фазовой скорости и длины волны в волноводе можно воспользоваться соотношением

,

где –длина волны в волноводе.

Тогда фазовая скорость

;

длина волны в волноводе

;

групповая скорость

.

где с – скорость света в свободном пространстве.

Решая уравнения Гельмгольца, можно получить следующие выражения для составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей волн типа Е_mn в прямоугольном волноводе:

;

;

;

;

;

.

Низшей из волн электрического типа является волна Е₁₁.

Выражения для составляющих векторов напряженностей полей волн типа Н_mn в прямоугольном волноводе записываются в виде

;

;

;

;

;

.

Основным типом волны в прямоугольном волноводе при а > b является волна Н₁₀, для которой =2а, ближайшими высшими типами – волны Н₂₀, Н₀₁, Н₁₁.

Составляющие векторов поля волны типа Е_mn в круглом волноводе имеют вид:

;

;

;

;

;

.

Низшей среди волн электрического типа в круглом волноводе является Е₀₁, для которой =2,613 а; ближайшим высшим типом – волна Е₁₁.

Выражения для составляющих векторов поля волн типа Н_mn в круглом волноводе имеют вид

;

;

;

;

;

.

Основным типом волны в круглом волноводе, имеющем наибольшую критическую длину, является волна Н_{1 1}, для которой =3,413 a. Из других волн магнитного типа в круглом волноводе часто используют волну H₀₁, для которой =1,640 а.

Характеристическим сопротивлением Z_с волновода называется отношение поперечных составляющих векторов Е и Н. Для волн электрического типа

.

Для волн магнитного типа

,

где Z₀ – характеристическое сопротивление плоской волны в свободном пространстве.

Мощность, переносимую волной любого типа в волноводе, определяют интегрированием вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода:

.

Мощность, переносимая волной типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе

,

где Е₀ – максимальная амплитуда напряженности электрического поля в волноводе.

Мощность, переносимая волной типа Н₁₁ в круглом волноводе

.

Максимальная переносимая мощность в волноводе определяется максимально допустимой (пробивной) напряженностью электрического поля в волноводе. Для сухого воздуха при атмосферном давлении Е_max = 30 кВ/см.

Результирующий коэффициент ослабления волны в волноводе равен сумме коэффициентов ослабления, вызванных потерями в металлических стенках и в диэлектрике:

.

Коэффициент ослабления вследствие потерь в металлических стенках для любой волны в волноводе произвольного сечения

,

где R_s = – поверхностное сопротивление металла; – составляющая магнитного поля, тангенциальная к поверхности металла.

Для волн типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе

;

типа Н_mn в прямоугольном волноводе (п 1)

;

типа E_mn в прямоугольном

;

типа H_mn в круглом

;

типа Е_mn в круглом волноводе

.

Расчетные формулы получены в предположении, что волновод имеет воздушное заполнение. Если волновод заполнен диэлектриком, то в эти формулы вместо следует подставлять значение длины волны в диэлектрике .

Для расчета коэффициента ослабления за счет потерь в диэлектрике используется формула

.

Если tg << 1, то

,

или

3.1. Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом прямоугольном волноводе течением 10 х 4 см при частоте f = 5 ГГц?

3.2. Какие типы волн могут распространяться в квадратном волноводе со стороной 1 см при частоте 10 ГГц? Волновод заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью =2,6.

3.3. Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом круглом волноводе диаметром 3 см при частоте 7,5 ГГц?

3.4. Прямоугольный волновод сечением 23 х 10 мм заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью =2,25. Частота колебаний 8,4 ГГц. Определите величины и .

3.5. Определите критическую длину волны, критическую частоту и длину волны в прямоугольном волноводе для волны типа Е₁₁. Размеры поперечного сечения 4 х 3 см; частота колебаний 10 ГГц.

3.6. Определите критическую частоту и фазовую скорость волны в круглом волноводе диаметром 5 см при частоте 5 ГГц.

3.7. Определите диапазон частот, в пределах которого в круглом волноводе диаметром 4 см может распространяться только основной тип волны.

3.8. Определите размеры поперечного сечения прямоугольного волновода, при которых может

распространяться лишь основной тип волны. Длина волны генератора 10 см.

3.9. Определите размеры поперечного сечения квадратного волновода, в котором при частоте 4 ГГц может распространяться лишь низшая волна электрического типа.

3.10. В круглом волноводе приняты меры, чтобы волна типа Н₁₁ не возбуждалась. Определите радиус волновода, при котором может распространяться только волна типа Е₀₁. Частота колебаний 9 300 МГц.

3.11. Определите радиус круглого волновода, если фазовая скорость волны типа Е₀₁ при частоте поля 10 ГГц равна 5·10⁸ м/с.

3.12. Вычислите размеры поперечного сечения квадратного волновода, если известно, что фазовая скорость волны типа Е₁₁ равна 6·10⁸ м/с; частота передаваемых колебаний 5 ГГц.

3.13. Длина волны в волноводе при работе на основном типе волны составляет 4,5 см. Размеры поперечного сечения волновода 2,6 х 1,3 см. Найдите частоту передаваемых колебаний.

3.14. Фазовая скорость волны типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе равна 5 с, где с – скорость света. Определите размеры волновода, если длина волны в свободном пространстве равна 10 см.

3.15. Найдите групповую скорость волны типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе сечением 72 х 34 мм при частоте поля 3 ГГц.

3.16. В круглом волноводе распространяется волна типа Е₀₁. Частота поля 10 ГГц, длина волны в волноводе 4 см. Вычислите групповую скорость.

3.17. В волноводе, заполненном диэлектриком с относительной проницаемостью = 2,25, распространяется волна с фазовой скоростью 3·10⁸ м/с. Определите групповую скорость.

3.18. Определите характеристическое сопротивление волны типа H₁₀ в прямоугольном волноводе сечением 72 х 34 мм при частоте колебаний 3 ГГц.

3.19. Определите характеристическое сопротивление волны

типа Е₀₁ в круглом волноводе диаметром 30 мм при длине волны генератора 3,2 см.

3.20. В круглом волноводе диаметром 5 см, заполненном диэлектриком, распространяется волна типа Н₁₁. Частота колебаний 3 ГГц. Определите диэлектрическую проницаемость вещества, заполняющего волновод, если фазовая скорость волны равна скорости света в свободном пространстве.

3.21. Устройство для измерения диэлектрической проницаемости вещества представляет собой прямоугольный волновод сечением 23 х 10 мм, заполненный диэлектриком. Для измерения длины волны в волноводе в середине его широкой стенки прорезана продольная щель, вдоль которой перемещается зонд с детектором. Волновод работает на основном типе волны. Определите диэлектрическую проницаемость исследуемого вещества, если при частоте сигнала 10 ГГц длина волны в волноводе равна 22,6 мм.

3.22. Определите критическую длину волны и характеристическое сопротивление основной волны в П-образном волноводе с размерами а = 36 мм, b = 16 мм, d = 6 мм, s = 9 мм. Длина волны генератора 6 см.

3.23. Рабочий диапазон частот Н -образного волновода принято определять как интервал от 1,2 f _кр основного типа волны до f _кр следующего типа волны. Определите рабочий диапазон частот Н -образного волновода со следующими размерами: а = 20 мм, b = 6 мм, d = 1 мм. s = 10 мм. Критическую длину волны типа Н₂₀ принять при­ближенно равной а.

3.24. Определите затухание волны типа Н₁₀ в отрезке прямоугольного волновода сечением 23 х 10 мм, длиной 10 см на частоте 6 ГГц.

3.25. Определите частоту колебаний, передаваемых по круглому волноводу диаметром 3 см, если затухание волны основного типа на длине 40 см составляет 60 дБ.

3.26. Какая максимальная мощность может быть передана по прямоугольному волноводу сечением 23 х 10 мм, работающему на частоте 10 ГГц? Волновод заполнен воздухом, предельно допустимое значение напряженности электрического поля 30 кВ/см.

3.27. В прямоугольном волноводе сечением 50 х 25 мм, работающем на волне типа Н₁₀, передается средняя мощность 10 кВт. Частота поля 5 ГГц. Определите амплитуду напряженности электрического поля на оси волновода, а также максимальное значение поверхностной плотности тока на его стенках.

3.28. Амплитудное значение продольной составляющей напряженности электрического поля на оси прямоугольного волновода сечением 5 х 2,5 см составляет 10⁵ В/м. Частота поля 7,5·10⁹ Гц. Диэлектрик – воздух; тип волны Е₁₁. Определите максимальное значение амплитуды поверхностной плотности тока и плотности тока смещения.

3.29. В круглом волноводе диаметром 3 см распространяется волна типа Н₁₁, частота колебаний 7,5 ГГц, передаваемая мощность 50 кВт. Определите максимальное значение напряженности электрического поля в волноводе.

3.30. В круглом волноводе радиусом а распространяется волна типа H₀₁. На каком расстоянии от оси волновода напряженность электрического поля имеет максимальное значение?

4. Линии передачи с волнами типа Т

Для волн типа Т поперечное волновое число g = 0, поэтому продольное волновое число h оказывается таким же, как и в случае однородной плоской волны. Для линии без потерь , откуда

, .

Здесь – длина однородной плоской волны в заполняющем диэлектрике с параметрами .

Характеристическое сопротивление волны типа Т в линии без потерь

.

Распределение электрического и магнитного полей вдоль продольной оси z можно записать в виде бегущей волны: Для линии с потерями , .

Распространение волны типа Т возможно лишь в линиях, которые могут быть использованы для передачи постоянного тока (двухпроводные, коаксиальные, полосковые и др.).

Линии передачи с волной типа Т характеризуются волновым сопротивлением Z_в,равным отношению комплексных амплитуд напряжения и тока в режиме бегущих волн и выражающимся через погонные индуктивность L₁ и емкость С₁ линии следующим образом:

.

Фазовая скорость в линии передачи с волной типа Т

.

Мощность, переносимая волной по линии передачи,

,

или

,

где интегрирование ведется по поперечному сечению линии.

Коэффициент ослабления волны в линии передачи складывается из коэффициента , учитывающего потери в диэлектрике, и коэффициента , описывающего потери в металле:

,

Здесь

,

. (3)

где R_s – поверхностное сопротивление металла.