В реальных условиях и системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления, и колебания в конце концов прекращаются.
Рис. 21.11 |
В том случае, когда силой сопротивления является сила вязкости (внутреннего трения), ее значение определятся выражением
, | (21.31) |
где r — коэффициент сопротивления, значение которого зависит от вязкости среды, в которой движется колебательная система, а также от формы и размеров движущейся системы (рис. 21.11).
Суммарная сила, действующая на колебательную систему, будет
,
где F y = –kx — упругая сила.
Используя второй закон Ньютона, можно записать
или
.
Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение затухающих колебаний, которое обычно представляют в виде
, | (21.32) |
где — коэффициент затухания; а — циклическая частота собственных свободных колебаний той же системы при b=0.
Решение уравнения (21.32) будем искать в виде (21.3) в предположении, что амплитуда A является убывающей функцией от времени:
|
|
. | (21.33) |
Найдем первую и вторую производные по времени
, | (21.34) |
, | (21.35) |
Далее подставим (21.33) – (21.35) в дифференциальное уравнение (21.32). После сокращения на получим
. |
В последнем выражении приравняем к нулю действительные и мнимые части:
Re: | , | (21.36) |
Im: | , | (21.37) |
Решаем вначале уравнение (21.37)
, , | |
, , | |
, , | (21.38) |
т.е. амплитуда затухающих колебаний убывает со временем по экспоненциальному закону.
Подставив (21.38) в (21.36), получим
, |
откуда
, | (21.39) |
т.е. циклическая частота затухающих колебаний w всегда меньше частоты незатухающих собственных колебаний w0 той же системы.
С учетом (21.38) общее решение (21.33) представим в виде
. | (21.40) |
Рис. 21.12 |
График затухающих колебаний показан на рис. 21.12.
Одна из характеристик реальной колебательной системы — величина, называемая логарифмическим декрементом затухания, которая определяется соотношением
, | (21.41) |
где A(t) и A(t+T) — амплитуды колебаний, взятых через промежуток времени, равный периоду колебаний T.
Подставив в (21.41) значения A(t) и A(t+T) из (21.36), получим
. | (21.42) |
В ряде случаев для характеристики реальных колебательных систем удобно использовать параметр Q — добротность системы. По определению добротность системы
, | (21.43) |
где W(t) — полная энергия колебательной системы; ΔW(t) — энергия, затраченная на преодоление сил сопротивления за период одного колебания.
Можно показать, что добротность и логарифмический декремент затухания связаны соотношением
. | (21.44) |
Приведенное рассмотрение относилось к случаю не очень сильного затухания, точнее, коэффициент затухания b удовлетворял условию b<w0. Рассмотрим теперь случай, когда затухание велико, т.е. b>w0. Тогда подкоренное выражение в (21.39) становится отрицательным, а частота w мнимой:
|
|
.
В этих условиях решение (21.40) (при j0=0) описывает апериодическое движение:
,
график которого изображен на рис. 21.13. Видно, что в любой момент времени x(t)>0. Это означает, что система, будучи выведенной из состояния равновесия, медленно возвращается к нему и не "проскакивает" его.
Режим колебаний при b=w0 называется критическим. Критический режим является граничным между затухающими колебаниями (b<w0) и апериодическим движением (b>w0). Критический режим по сравнению с другими выгодно отличается тем, что в таком режиме система быстрее всего возвращается в положение равновесия. Это обстоятельство используется в различных измерительных приборах, в которых указатель (обычно стрелка) прибора продвигается к необходимому делению за оптимальное время (рычажные весы, стрелки электроизмерительных приборов и т.д.).
Затухающие колебания используют для определения параметров колебательной системы. Измерив на опыте частоту w (или период T) затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания b, можно из (21.42) найти коэффициент затухания l, а из (21.39) — частоту собственных колебаний системы w0.
В заключение отметим, что в механических колебательных системах зачатую силой сопротивления является сила внешнего (сухого) трения, значение которой не зависит от скорости движения. В этом случае приведенный выше анализ неприменим. Не вдаваясь в детальный математический анализ, отметим лишь характерные особенности движения таких колебательных систем.
1. Амплитуда колебаний в этом случае убывает по линейному закону
.
2. Частота затухающих колебаний равна частоте собственных колебаний: w = w0.