Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются условия:
1) определена в точке и некоторой ее окрестности;
2) существует ;
3) этот предел равен значению функции в точке : .
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки и если
,
т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке (интервале), если она непрерывна в каждой точке данного отрезка (интервала).
Замечание (к определению 3). Существует понятие непрерывность слева (справа). В этом случае в исследуемых точках вычисляются односторонние пределы. Если не выполняется хотя бы одно из условий определений 1, 2, то функция не будет непрерывна в точке , и точка в этом случае называется точкой разрыва функции .
Точки разрыва принято подразделять на два типа.
Определение 4. Точка (точка разрыва) называется точкой разрыва I-го рода функции , если существуют односторонние пределы этой функции при слева и справа. Все остальные точки разрыва относятся к точкам разрыва II-го рода.
|
|
Определение 5. Точка разрыва I-го рода функции называется устранимой точкой разрыва, если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны:
.
Если , то говорят, что функция совершает в точке скачок на величину .