2015-02-04
353
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьем этот промежуток произвольным образом на n частей точками:
.
В каждом из полученных частичных промежутков 
, где 
, выберем произвольную точку 
. Вычислим значение функции 
и умножим его на разность 
, после этого составим сумму 
, которая называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке .
Пусть 
, т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммы 
при 
, не зависящий ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек 
, то этот предел называется определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом 
. Таким образом, 
.
Функция в этом случае называется интегрируемой в промежутке . Числа 
и 
называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.
Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функция непрерывна и неотрицательна в промежутке , 
. В этом случае произведение 
равно площади прямоугольника с основанием 
и высотой , а сумма равна сумме площадей прямоугольников с основанием 
и высотами 
(рис. 1).
|
|
|
Рис.1
Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при 
, т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми 
и 
и отрезком оси 
.
Свойства определенного интеграла:
Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. Если 
то 
.
Если функции непрерывна на отрезке и 
– какая-нибудь первообразная для на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
.
Правую часть формулы часто обозначают символом 
(знак двойной подстановки от до ):
Пример 1. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение: 
.
