Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
. (6)
Для его решения введем новую переменную . Тогда и . Подставляя эти соотношения в (6), получаем: или . Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно легко интегрируется. Найдя , получаем искомое решение .
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение: Полагая и , получим:
, или .
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
.
Для удобства, произвольная постоянная здесь представлена в виде , где . Тогда и окончательно общее решение принимает вид:
.
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение: Пусть . Разделим обе части уравнения на :
.
После замены переменной это уравнение приводится к виду:
, или .
Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:
Тогда .
Заметим, что общее решение уравнения можно записать в виде функции, заданной неявно (подставим вместо z):
.