(2)
Называется бесконечным числовым рядом, а сами числа (1) – членами ряда.
Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:
,
при этом формулу , позволяющую получить любой член ряда при подстановке в нее соответствующего фиксированного значения n, называется общим членом ряда.
Сумма конечного числа первых n членов называется n - ой частичной суммой ряда:
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то его называют суммой ряда и ряд называется сходящимся. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что ряд расходится.
Заметим, что здесь, говоря о , имеем ввиду, что .
Рассмотрим основные свойства сходящихся рядов:
1. На сходимости ряда не сказывается отбрасывание конечного числа его членов.
2. Сходимость ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же ненулевое число.
3. Сумма (разность) сходящихся рядов есть ряд сходящийся.
Для установлениясходимости или расходимости рядапользуются теоремами, называемыми признаками сходимости. Рассмотрим основные из них.
|
|
1. Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю при неограниченном возрастании n, т.е.
. (3)
Условие (3) является необходимым, но не достаточным условием сходимости, поэтому если , то ряд может как сходиться, так и расходиться.
Однако, если , то ряд расходится. Таким образом, пользуясь необходимым признаком сходимости, можно установить лишь расходимость данного числового ряда.
Заметим, что необходимый признак сходимости можно применять к рядам, члены которых имеют любые знаки.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Рассмотрим предел общего члена ряда:
.
Делаем вывод, что ряд расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Рассмотрим предел общего члена ряда:
.
Необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.
Сформулируем достаточные признаки сходимости некоторых рядов и вернемся к решению примера.
В первую очередь рассмотрим ряды, члены которых неотрицательны. Для краткости такие ряды мы будем называть просто положительными.
Признак сравнения 1. Рассмотрим два ряда с положительными членами и . Пусть, начиная с некоторого n, выполняется условие . Если ряд сходится, то ряд тоже сходится. Если ряд расходится, то ряд тоже расходится.
Признак сравнения 2. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся или оба расходятся.
В частности, если , то, как известно, при .
При использовании этих двух признаков нужно сравнивать исследуемый ряд с рядом, сходимость или расходимость которого уже известна.
|
|
Для сравнения обычно выбирают один из следующих рядов:
I. – гармонический ряд, он расходится.
II. () — геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при 1 расходится.
III. – обобщенный гармонический ряд, при сходится, при 1 расходится.
Пример 3. Вернемся к ряду из примера 2: .
Решение: Это ряд с положительными членами. Выпишем общий член ряда и заменим его на эквивалентную величину при (бесконечно большой многочлен эквивалентен своей старшей степени с коэффициентом):
Ряд – гармонический ряд и, как известно, расходится (постоянный множитель не влияет на сходимость или расходимость ряда). Следовательно, на основании второго признака сходимости исходный ряд также расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда .
Решение: В качестве сравнения возьмем геометрическую прогрессию , которая сходится, т.к. = 1. Сравним общие члены этих двух рядов: . На основании первого признака сравнения исходный ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Рассмотрим расходящийся ряд (обобщенный гармонический ряд с р = 1/2). Поскольку, начиная с n = 3, выполняется условие , то, согласно первому признаку сравнения, исходный ряд расходится.
Признак Даламбера. Рассмотрим ряд с положительными членами . Если существует предел , то при q 1 ряд сходится, при q 1 расходится, при q = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым и следует использовать другие признаки.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Поскольку , то
.
Напомним, что . Теперь найдем предел отношения :
Так как 0 < 1, то, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
Радикальный признак Коши. Рассмотрим ряд с положительными членами . Если существует предел , то при q 1 ряд сходится, при q 1 расходится, при q = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым и следует использовать другие признаки.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Поскольку общий член ряда содержит n -ую степень, то можно применить радикальный признак Коши.
1,
следовательно, ряд сходится.
Интегральный признак Коши.
Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл ведут себя одинаково (оба сходятся или оба расходятся).
Заметим, что несобственный интеграл сходится, если его значение является конечным, и расходится, если его значение не существует или равно бесконечности.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Рассмотрим функцию . При функция положительна, монотонно убывает и непрерывна, т.е. удовлетворяет условию интегрального признака Коши. Рассмотрим интеграл:
.
Заметим, что для вычисления выражения переходят к пределу:
.
Итак, интеграл расходится. Из расходимости интеграла следует расходимость исходного ряда.
Теперь рассмотрим знакопеременные ряды.
Знакопеременным называется ряд
, (4)
если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.
Составим ряд из абсолютных значений ряда (4):
(5)
Если ряд (5) сходится, то ряд (4) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся.
Из расходимости ряда (5) не следует расходимость ряда (4).
Если ряд (5) расходится, а ряд (4) сходится, то ряд (4) называется сходящимся условно.
Ряд (5) является знакоположительным рядом и вопрос о его сходимости решается с помощью признаков, рассмотренных ранее.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.
Знакочередующимся называется ряд, члены которого поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки (т.е. общий член ряда можно представить в виде ):
, (6)
где для любого .
Для решения вопроса о сходимости знакочередующегося ряда используют признак сходимости Лейбница.
Признак сходимости Лейбница. Если для знакочередующегося ряда (6) выполнены условия:
|
|
1. (начиная с некоторого n),
2. ,
то ряд (6) сходится.
Пример 9. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Это знакочередующийся ряд c , для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: и , поэтому ряд сходится. Он сходится условно, т.к. ряд, составленный из абсолютных значений, является гармоническим , который расходится.
Пример 10. Исследовать сходимость ряда .
Решение: Можно, как в предыдущем примере, сначала применить признак Лейбница и, убедившись в сходимости ряда, исследовать эту сходимость (абсолютная или условная сходимость). А можно сразу рассмотреть ряд, составленный из абсолютных значений . Если такой ряд сходится, то мы сразу получим ответ, а если он расходится, то придется применить признак Лейбница, чтобы установить расходится ли исходный знакочередующийся ряд, или он сходится условно.
Поступим вторым способом. Применим к ряду признак сходимости Даламбера:
< 1,
следовательно, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Теперь рассмотрим функциональные ряды.
Функциональным называется ряд
,
членами которого являются зависящие от функции.
Множество значений аргумента , при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Частным случаем функционального ряда является степенной ряд:
, (7)
где и – вещественные числа.
Для ряда (7) существует такой интервал, называемый интервалом сходимости, с центром в точке , внутри которого ряд (7) сходится абсолютно, а при ряд расходится. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости в частном случае может быть равен 0 или . На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.
Для выяснения вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости достаточно применить к ряду известные признаки сходимости, считая фиксированным и равным .
Пример 11. Найти область сходимости ряда .
Решение: Так каквнутри интервала сходимости ряд сходится абсолютно, применим к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:
|
|
Запишем (условие сходимости ряда по признаку Даламбера) и найдем такие значения х, при которых это условие выполняется:
Итак, мы получили интервал сходимости: . Исследуем сходимость на концах этого интервала.
При х = -3 получаем числовой ряд:
.
Это знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница (см. пример 9).
При х = 1 получаем гармонический ряд:
,
который расходится.
Окончательный ответ: ряд сходится при
Если , то степенной ряд имеет вид:
.
Пример 12. Определить область сходимости ряда .
Решение: Рассмотрим предел:
Мы получили результат, меньший единицы при всех значениях , поэтому область сходимости ряда: .
Требования к оформлению контрольной работы:
1. Работа выполняется в тетради со свободными полями для замечаний рецензента или на листах формата А4 в скоросшивателе.
2. На обложке должны быть указаны фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, шифр, номер специальности, срок обучения, название дисциплины.
3. Контрольная работа должна содержать все задачи своего варианта, расположенные в порядке, указанном в задании. Перед решением каждой задачи должны приводиться ее условия.
4. Решение следует излагать подробно и аккуратно, делая необходимые объяснения и иллюстрации.
5. В случае получения от рецензента незачтенной работы следует исправить все отмеченные ошибки, внести необходимые исправления и прислать работу для повторной проверки. Рекомендуется при выполнении работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для внесения возможных исправлений после ее рецензирования.
6. Контрольную работу следует сдать не позже установленного срока (уточнить на кафедре высшей математики).
Список литературы:
1. Акимов А.В., Брыжина Э.Ф., Полозенко Н.А. Задачи и упражнения по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: СПбГИЭУ, 2002. – 72с.
2. АКИМОВ А.В., ГАЛИЛЕЕВ М.М., МОИСЕЕНКО Т.С. Математика для экономистов. Часть 1. Учебное пособие, СПбГИЭУ, 2002.
3. Брыжина Э.Ф., Линьков А.М., Митасов Е.В. Высшая математика. Элементы линейной алгебры: Методические указания к контрольной работе №1 для студентов 1 курса заочного и вечернего отделений всех специальностей. /ЛИЭИ – Л.,1990.
4. ДАНКО П.Е., ПОПОВ А.Г., КОЖЕВНИКОВА Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1986.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965–1975.
6. Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М:Высшая школа, 1982.
7. КОЛЕСНИКОВ А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: Инфра-М, 1997.
8. КРЕМЕР Н.Ш., ПУТКО Б.А., ТРИШИН Н.М., ФРИДМАН Н.М. Высшая математика для экономистов. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
9. МИТАСОВ Е.В., ПРОНИН Л.Н., РОЖКОВ Ю.С., ТЕТЕРИН И.Ю. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Учебное пособие, СПбГИЭУ, 2001.
10. ШИПАЧЕВ В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.
11. Математический анализ: Метод. указ. к изучению дисциплины и выполнению контр. работ №1,2 для студ. заоч. формы обуч./ Сост. В.Н. Ассаул, А.М. Васильев, Т.Н. Зауличева, А.В. Соколова – СПб.: СПбГИЭУ, 2005. – 70с.
12. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие /Под ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА– М, 2003. – 575с. – (Серия «Высшее образование»).
Приложение 1.