Пример 4. Определим передаточную функцию по уравнениям состояния

Определим передаточную функцию по уравнениям состояния. Рассмотрим систему, которая описывается уравнениями состояния:

Матрица [z I - A ]^-1 была получена в примере 3:

[z I - A ]^-1 = где D = z² - 3z + 2.

Тогда на основании (26), учитывая, что D = 0, определим передаточную функцию системы:

C [z I - A ]^-1 B =

Как видим, этот результат совпадает с передаточной функцией из примера 2. Его можно проверить с помощью программы MATLAB:

A=[0 1;-2 3];

B=[0;1];

C=[0 1];

[Wnum,Wden]=ss2tf(A,B,C,0)

4. Вычисление импульсной переходной функции

Объединим уравнения (17) и (20), положив x (0)=0:

y(k) = CA ^i-1 B u(k-i) + D u(k). (28)

Пусть входной сигнал имеет вид

тогда импульсная переходная функция определяется рекуррентной формулой

g(0)=d,

g(k)= CA ^k-1 B для k>0. (29)

Отсюда можно получить соотношение, связывающее импульсную переходную функцию и z-передаточную функцию

W(z)= = D + CA ^k^-1 B z^-^k. (30)

5. Управляемость дискретных САУ

Линейный динамический объект называют управляемым, если существует реализуемая последовательность управляющих воздействий u(k), позволяющая перевести объект из произвольного начального состояния x (0) в любое конечное состояние x (N) на ограниченном интервале времени, равном N тактов квантования.

Для того чтобы получить указанную последовательность u(k), можно воспользоваться уравнением (20). Для объекта со скалярным входом

x (N) = A ^N x (0) + [ B, AB, …, A ^N^-1 B]u _N, (31)

где

u _N^T = [u(n-1) u(n-2) … u(0)]. (32)

При N=m неизвестный вектор входных воздействий определяется однозначно по формулам

u _m= Q _s^-1[ x (m) – A ^m x (0)], (33)

Q _s = [ B AB…A ^m-1 B ], (34)

если

det Q _s ≠ 0. (35)

Матрица Q _s называется матрицей управляемости. Она не должна иметь линейно зависимых столбцов (строк). Следовательно, объект управляем, если выполняется условие

Rank Q _s = m, (36)

где m – порядок матрицы A. Если N<m, решения относительно вектора u не существует, а при N>m оно становится неоднозначным.

6. Наблюдаемость дискретных САУ

Линейный динамический объект с выходной переменной y(k) называют наблюдаемым, если произвольное состояние x (k) можно определить, имея конечный набор выходных переменных y(k), y(k+1),…,y(k+N-1). Условия наблюдаемости выведем следующим образом.

Воспользовавшись уравнением выхода

y(k) = Cx (k)

и векторным разностным уравнением (16), сформируем последовательность уравнений

y(k) = Cx (k),

y(k+1) = CAx (k) + CB u(k),

y(k+2) = CA ² x (k) + CAB u(k) + CB u(k+1),

…..

y(k+N-1) = CA ^N-1 x (k) + [0, CB, CAB, …, CA ^N-2 B ]u_N. (37)

Здесь

u _N^T = [u(k+N-1)…u(k+1) u(k)]. (38)

Если все составляющие вектора входных воздействий u _N^T известны, для однозначного определения m неизвестных, образующих вектор состояния x (k), из системы (37) достаточно взять m уравнений. Таким образом, N=m. При этом систему (37) можно записать в виде

y _m= Q _B x (k) + Su _m, (39)

где

y _m^T = [y(k) y(k+1) … y(k+m-1)],

u _m^T = [u(k+m-1) … u(k+1) u(k)],

Q _B = [ C CA … CA ^m-1]^T,

S =