Скользящее резервирование

Рассмотрим мажоритарную систему т/п с резервом замещением (ненагруженным резервом). Такое резервирование называется еще скользящим (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Скользящее резервирование

Сначала работают (п - т) основных элементов системы, а остальные т эле­ментов не работают (находятся в очереди на работу). При отказе любого ос­новного элемента он заменяется новым из числа резервных, который теперь выполняет функции основного элемента. При этом количество резервных элементов уменьшается. При отказе следующего основного элемента он опять заменяется новым из числа резервных и т. д. Отказ системы настилает, когда будут израсходованы все резервные элементы и откажет любой из ос­новных элементов.

Определим вероятность безотказной работы системы со скользящим резер­вом при условии, что все элементы системы имеют одинаковую надежность, а именно случайное время до отказа каждого элемента имеет плотность f / (t) и вероятность безотказной работы P(t).

Система будет работоспособной в течение времени t при отказе не более чем т элементов. Событие А_к, состоящее в отказе любых к (0 <к<т) элемен­тов за время t, может произойти в том случае, когда произойдет хотя бы одно из несовместных событий , которое состоит в том, что ос­новной элемент системы, стоящий на i-м месте, будет заменен k_t резервными элементами, При этом и такие, что. Поскольку событие А_к является суммой несовместных событий то по теореме сложения вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

Событие равно произведению событий А_к, состоящих в

том, что один основной элемент будет замещен резервными элементами,

находящимися в ненагруженном состоянии. Вероятность события рав­на, очевидно, и, значит, по теореме умножения вероятностей для независимых событий получим:

Тем самым вероятность безотказной работы системы т/п с ненагруженным резервом равна

(6.15)

Эта формула очевидным образом может быть обобщена на общий случай, когда все элементы системы имеют разную надежность.

Пусть элементы системы имеют экспоненциальное распределение вероятно­стей времени до отказа с параметром . Вычислить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов системы со скользящим резервом.

Так как, то

и поэтому по формуле (6.15) вероятность безотказной работы системы равна

Последнее означает, что вероятность безотказной работы системы со сколь­зящим резервом имеет распределение Эрланга с параметрами и

Найдем интенсивность отказов:

Если резерв существует! (т > 1), то в момент времени t = 0 имеем

а при длительной работе системы, когда получим

Таким образом, как и для постоянно включенного резерва, для резерва заме­щением при длительном функционировании системы отношение интенсив­ности отказов системы к интенсивности отказов одного элемента равно числу основных элементов системы. Скользящее резервирование высокоэффективно. Система, состоящая из п элементов с одним резервным, имеет такую вероятность безотказной работы, как и дублированная система, число элементов которой равно 2 (п -1). Дей­ствительно, при т = 1

что совпадает с вероятностью безотказной работы дублированной системы.