Понятие определенного интеграла. К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит

К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит

ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи.

Пусть на [ a, b ] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида

.

Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [ a, b ]. Она

зависит от способа деления [ a, b ] на элементарные части и от выбора точек

на каждой из этих частей.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [ a, b ] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [ a, b ] и обозначается

_____________________________

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем

т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Теорема. Для любой непрерывной на [ a,b ] функции существует определенный интеграл.