Интерполяция сплайнами

Пусть задана таблица значений функции f (x_i) = y_i (), в которой они расположены по возрастанию значений аргумента: x ₀ < x ₁ < … < x_n. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты a_i ₀, a_i ₁, a_i ₂, a_i ₃, которые задают интерполяционный кубический многочлен

на каждом интервале интерполирования [ x_i _-1, x_i ], .

Таким образом, необходимо определить 4 n коэффициентов a_ij (, ), для чего требуется 4 n уравнений. Необходимые уравнения определяются следующими условиями.

1. Условия непрерывности функции:

2. Условия непрерывности 1-х и 2-х производных функции:

3. Граничные условия:

Часто используются граничные условия вида . Получаемый при этом сплайн называется естественным кубическим сплайном.

Задача определения кубического сплайна существенно упрощается при использовании многочлена Эрмита. Кубический многочлен Эрмита на интервале [ x_i- ₁, x_i ] определяется с помощью значений функции y_i _-1, y_i и ее производных y ¢ _i _-1, y ¢ _i. Так как значения производных в общем случае могут быть неизвестны, обозначим их как y ¢ _i _-1 = S_i _-1; y ¢ _i = S_i. При построении сплайна переменные S_i называются наклонами сплайна в соответствующих точках x_i.

Запишем многочлен Эрмита для интервала [ x_i- ₁, x_i ], где h_i = x_i - x_i- ₁:

При таком выборе кубического многочлена автоматически выполняются условия непрерывности функции и ее первых производных:

Чтобы определить сплайн, нужно задать условия непрерывности второй производной:

Для записи этих условий в развернутом виде определим кубический многочлен Эрмита на интервале [ x_i, x_i ₊₁], где h_i ₊₁ = x_i ₊₁ - x_i:

Определим вторые производные многочленов Q_i (x) и Q_i ₊₁(x) в точке x = x_i:

(4)

(5)

Отсюда условие непрерывности вторых производных имеет вид:

(6)

Это условие порождает систему линейных уравнений относительно наклонов сплайна S_i, которая содержит n - 1 уравнение и n + 1 переменную. Чтобы определить два недостающих уравнения используются граничные условия. Например, для естественного кубического сплайна:

Указанные граничные условия могут быть получены из уравнения (5) для i = 0 и из уравнения (4) для i = n соответственно. В развернутом виде:

(7)

Решение системы линейных уравнений, образованной условиями (6) и (7), позволяет вычислить наклоны сплайна S_i (i = ) и определить кубический сплайн путем записи многочлена Эрмита для каждого интервала [ x_i- ₁, x_i ], i = .