Теоретическая часть. Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений

Цель работы: изучение и сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений; практическое решение уравнений на ЭВМ.

Теоретическая часть

При разработке алгоритмов, входящих в состав математического обеспечения ИТ, часто возникает необходимость в решении нелинейных уравнений вида

f (x) = 0, (1)

где функция f (x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b. В частности, в форме нелинейных уравнений представляются математические модели анализа статических свойств объектов проектирования или их элементов.

Если функция f (x) представляет собой многочлен n -й степени вида

a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² +... + a_n xⁿ,

то уравнение (1) называется алгебраическим. Когда x находится под знаком трансцендентной функции (показательной, логарифмической, тригонометрической и т.п.), уравнение называется трансцендентным. Значение аргумента x *, при котором функция f (x) обращается в нуль, т.е. f (x *) = 0, называется корнем уравнения.

В общем случае для функции f (x) не существует аналитических формул для нахождения корней. Более того, их точное вычисление не всегда является необходимым. Это объясняется тем, что встречающиеся в инженерной практике уравнения часто содержат коэффициенты, величины которых имеют приближенные значения. В таких случаях решается задача определения корней с некоторой заранее заданной степенью точности.

В дальнейшем предполагаем, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого из них существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс нахождения изолированных действительных корней нелинейного уравнения включает два этапа:

1) отделение корней, т.е. нахождение интервалов [ a, b ], внутри которых содержится один и только один корень уравнения;

2) уточнение приближенных значений отдельных корней до заданной степени точности.

Этап отделения корней может быть выполнен различными способами. Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых, для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции y = f (x), где приближенные значения действительных корней уравнения f (x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0 x (y = 0).

Наиболее часто применяется метод отделения корней, основанный на следующем положении: если на концах некоторого интервала [ a, b ] значения непрерывной функции f (x) имеют разные знаки, т.е. f (a) f (b) < 0, то на этом интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f' (x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [ a, b ].

Рассмотрим простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений, ориентированный на использование ЭВМ. Исходный интервал [a, b], на котором определена и непрерывна функция f (x), разбивается на n отрезков равной длины

(x ₀, x ₁), (x ₁, x ₂),..., (x_{n -1}, x_n),

где x ₀ < x ₁<...< x_n и x ₀ = a, x_n = b. Затем вычисляются значения функции f (x_j) в точках x_j (j = ) и выбирается отрезок (x_i, x_{i +1}), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f (x_i) f (x_{i +1}) < 0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня), то считается, что корень отделен на интервале [ a, b ], где a = x_i, b = x_{i +1}. В противном случае границы исходного интервала сдвигаются, т.е. a = x_i, b = x_{i + 1}, и процедура повторяется.

Необходимо отметить, что длина исходного интервала [a, b], на котором определена функция f (x), может изменяться в широких пределах. Поэтому число отрезков n, а также длина искомого интервала [ a, b ] являются переменными величинами, которые должны задаваться в каждом конкретном случае с учетом физического смысла решаемой задачи.

На втором этапе решения нелинейных уравнений полученные приближенные значения корней уточняются различными итерационными методами до некоторой заданной погрешности. Наиболее эффективные методы уточнения корней уравнения рассмотрены ниже.