1. Точка называется точкой максимума (минимума) функции если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство
.
2. Если в точке максимума или минимума обе частные производные существуют и непрерывны, то они равны нулю в этой точке (необходимое условие экстремума).
3. Если в точке обе частные производные обращаются в нуль, то характер этой точки определяется величиной , где , , .
При имеется экстремум (максимум при и минимум при ).
При функция в данной точке не имеет экстремума.
При вопрос о наличии экстремума остается открытым (достаточное условие экстремума).
4. Наибольшее (наименьшее) значение функции (глобальный максимум (минимум)) определяется как наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на ее границе.
5. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции при условии если, существует такая окрестность этой точки, что во всех точках (х, у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g (x, у) = С, выполняется неравенство .
Уравнение называется уравнением связи. Точка условного экстремума является точкой экстремума функции . Функция L называется функцией Лагранжа, а , – множителем Лагранжа.
6. При исследовании функции на экстремум рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1. Найти частные производные и
2. Решить систему уравнений и и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
15.56. Найти экстремумы функции .