1. Постановка задачи. Производится n наблюдений ,..., переменных х и у. Предполагая, что между х и у существует зависимость вида ,найти значения параметров а и b,наилучшим образом согласованные с экспериментальными данными.
Согласно методу наименьших квадратов параметры функции следует выбирать так, чтобы сумма квадратов невязок (15.14)
была наименьшей.
2. Если – линейная функция, т.е. , то , а неизвестные параметры а и b определяются из системы нормальных уравнений:
(15.15)
3. Если – квадратичная функция, т.е. , то , а неизвестные параметры а, b, с определяются из системы нормальных уравнений:
(15.16)
15.88. Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля х (тыс. км) и у – расходе масла (л/тыс. км):
0,2 | 0,5 | 0,8 | 1,1 | 1,3 |
Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов.
Решение. Найдем необходимые для решения суммы
Промежуточные вычисления представлены в таблице:
0,2 | ||||
0,5 | ||||
0,8 | ||||
1,1 | ||||
1,3 | ||||
3,9 |
Система нормальных уравнений (15.15) имеет вид:
Ее решения , . Таким образом, линейная зависимость имеет вид: .
15.89. Имеется шесть измерений пары переменных , результаты которых приведены в таблице:
0,2 | 0,3 | 1,0 | 1,2 |
Методом наименьших квадратов построить линейную зависимость . Сравнить полученную зависимость с зависимостью .
Решение. Аналогично задаче 15.88 найдем уравнение линейной зависимости: .
Сравним величины для найденной линейной зависимости и зависимости . Промежуточные вычисления представим в таблице:
0,2 | 0,125 | 0,12 | 0,005625 | 0,0064 | ||
0,3 | 0,5 | 0,49 | 0,040000 | 0,0361 | ||
1,0 | 1,125 | 0,76 | 0,015625 | 0,0576 | ||
1,2 | 1,23 | 0,640000 | 0,0009 | |||
0,701250 | 0,1010 |
Как видно , следовательно, линейная зависимость предпочтительнее.
15.90. Имеются следующие данные о расходах на рекламу х (тыс. усл, ед.) и сбыте продукции у (тыс. ед.):
1,6 | 4,0 | 7,4 | 12,0 | 18,0 |
Предполагая, что между переменными х и у существует квадратичная зависимость вида , найти значения параметров а, b, с методом наименьших квадратов.
Решение. Найдем необходимые для решения суммы
Вычисления приведены в таблице:
1,6 | 1,6 | 1,6 | |||||
4,0 | 8,0 | 16,0 | |||||
7,4 | 22,2 | 66,6 | |||||
12,0 | 48,0 | 196,0 | |||||
18,0 | 90,0 | 450,0 | |||||
43,0 | 169,8 | 730,2 |
Система нормальных уравнений (15.16) имеет вид:
Ее решение ; . Таким образом, искомая зависимость имеет вид: .
Имеются следующие данные о переменных х и у. Предполагая, что между
х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов:
15.91. х -цена на товар (усл.ед.);у –уровень продаж (тыс.ед.):
3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 | 7,0 | |
15.92. х -уровень потребления электроэнергии на предприятии (млн кВт. ч);у –себестоимость единицы продукции:
1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | |
20,0 | 18,8 | 18,2 | 18,1 | 18,0 |
15.93. х -мощность двигателя (л.с.);у –средний срок его эксплуатации (мес.):
По экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов
линейную эмпирическую зависимость . Сравнить полученную зависимость с альтернативной и определить, какая из них лучше соответствует экспериментальным данным:
15.94.
2,5 | 3,5 | ||||
4,2 | 5,5 | 6,9 | 9,5 |
Альтернативная зависимость .
15.95.
1,0 | 1,4 | 1,7 | 2,0 | 2,2 |
Альтернативная зависимость .
15.96.
1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | |
0,50 | 0,30 | 0,25 | 0,18 | 0,12 |
Альтернативная зависимость .
15.97. Имеютсяследующие экспериментальные данные о количестве единиц произведенной продукции х и издержках у (тыс.усл.ед.):
2,0 | 5,9 | 12,0 | 20,0 | 30,0 |
Функция издержек ищется в виде . Определить параметры а и b функции методом наименьших квадратов.
15.98. Имеютсяследующие экспериментальные данные о количестве произведенного товара х (тыс.ед.) и количестве реализованного товара К(х) (тыс.ед.):
Зависимость ищется в виде . Найти ее параметры а и b функции методом наименьших квадратов.
Указание. Для решения задач 15.97 – 15.98 вначале необходимо получить свою систему нормальных уравнений, исходя из равенств: , где S определяется по формуле (15.14).
15.5. Двойные интегралы