Краткие сведения из теории случайных процессов

Случайные процессы в линейных системах

Во многих случаях возмущающие воздействия и задания, прикладываемые к автоматическим системам, изменяются случайно во времени.

При синтезе систем возможны 2 подхода для обеспечения необходимого качества управления:

1) Рассчитать параметры системы по максимально возможным воздействиям возмущений (или заданий) и обеспечивать требуемые показатели исходя из этих величин.

Тогда при нормальных условиях эксплуатации показатели качества для любых возможных воздействий будут удовлетворять поставленным требованиям, но жесткие условия потребуют дополнительных затрат на систему.

2) Исследовать вероятностные характеристики воздействия и осуществить синтез системы с учетом наиболее вероятных воздействий и достижения показателей качества при таких условиях. В этом случае при самом плохом сочетании воздействий показатели качества окажутся ниже планируемых, однако с учетом малой вероятности и относительно малой частоты таких событий ущерб будет невелик. Но синтез системы при случайных воздействиях имеет некоторые особенности по сравнению с синтезом при детерминированных воздействиях: как правило, он более сложен.

Краткие сведения из теории случайных процессов

Функция некоторых аргументов, принимающая различные значения (в общем случае - случайные) для каждого значения аргумента, называется случайной функцией.

Если аргументом случайной функции служит время t, то функция называется случайным или стохастическим процессом.

Функция x(t), принимающая для каждого значения t случайное значение, называется стохастическим процессом.

Случайный процесс характеризуется изменением величины для множества реализаций этого процесса для одного и того же момента времени и изменением величины для каждой реализации во времени.

Так же, как и для случайных величин, для случайных процессов используется функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности , зависящие от времени.

Например, если в каждый момент времени некоторого случайного процесса его значение подчинено нормальному распределению, то функция распределения вероятности этого процесса:

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:den></m:f></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

В общем случае математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение являются функциями времени. Это одномерные распределения, описывающие вероятностные свойства случайного процесса для момента времени .

Для того чтобы отразить взаимосвязь случайных значений во времени, используют многомерные функции:

Например, 2-мерная плотность вероятности равна совместной вероятности того, что функция не превысит в момент времени значения , а в момент не превысит значения .

Плотность распределения вероятности равна совместной вероятности попадания случайной величины в момент времени в малую окрестность , и в момент времени - в окрестность .

Многомерные функции в основном используют в научной литературе; в инженерных расчетах используются такие показатели, как математическое ожидание, дисперсия, средний квадрат, спектральная плотность, корреляционная функция.

Различают дисперсию путем усреднения по множеству и по времени:

Математическое ожидание по множеству:

Математическое ожидание по времени:

Используется понятие центрированного случайного процесса: .

Математическое ожидание квадрата центрированного случайного процесса называется дисперсией:

т.к. .

Первое слагаемое называется средним квадратом случайного процесса.

Аналогично расписывается дисперсия по времени.

– среднеквадратичное отклонение.

и характеризуют разброс случайных значений процесса вокруг среднего значения или вокруг математического ожидания.

Если математическое ожидание случайного процесса постоянно во времени, то процесс называется стационарным (в широком смысле).

Если сохраняются остальные показатели во времени (дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность), то говорят о стационарности процесса в узком смысле.

Случайные процессы могут иметь одинаковое математическое ожидание и дисперсию во времени, но существенно различаться по характеру:

x x

t t

Для оценки изменчивости случайного процесса во времени используют корреляционную функцию, которая равна математическому ожиданию произведения случайной функции для 2-х различных моментов времени:

где - это случайные значения случайного процесса для моментов времени и соответственно.

Для 2-х случайных процессов используется понятие взаимной корреляционной функции

Корреляционная функция для одного случайного процесса называется также автокорреляционной (в зарубежной литературе – ковариационной).

Стационарные случайные процессы, у которых математические ожидания по множеству и по времени совпадают, называются эргодическими процессами.

Корреляционная функция для эргодических процессов не зависит от значений , , а зависит от разности - , и в инженерной практике определяется:

Для 2-х функций соответственно:

Корреляционная функция для быстроменяющегося сигнала:

R R

τ τ

Чем медленнее меняется случайный процесс во времени, тем шире корреляционная функция, и наоборот.

Случайный процесс с корреляционной функцией в виде δ-импульса называется белым шумом. Значения такого процесса могут изменяться во всем диапазоне значений через бесконечно малый промежуток времени.

Корреляционная функция для центрированного случайного процесса определяется т.о.: